Problema trigonometrico con discussione di sistemi parametrici

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Problema trigonometrico con discussione di sistemi parametrici #16568

avt
Gio
Visitatore
Vi posto un problema trigonometrico, in cui devo fare la discussione dei sistemi parametrici applicati alla Geometria Analitica. Mi potete spiegare come farlo?

Traccia: in una circonferenza di centro O la corda AB è uguale al lato del triangolo equilatero inscritto. Condotta per B la semiretta tangente alla circonferenza che giace, rispetto ad AB, nel semipiano che contiene il centro O, determinare sulla semiretta un punto P tale che si abbia \frac{BN+MP}{PB}=K ove M è l'ulteriore intersezione di AP con la circonferenza e K un numero reale positivi. Porre l'angolo B\hat{A}P=x.
 
 

Re: Problema trigonometrico con discussione di sistemi parametrici #16598

avt
Danni
Sfera
Ciao,

l'esercizio è un po' lunghetto ma facciamoci coraggio.

Un bel disegno ed il problema si risolve quasi da sé.
Circonferenza di centro O e diametro orizzontale BC
Nella semicirconferenza inferiore rispetto al diametro BC portiamo la corda BA
Da B alziamo la perpendicolare a BC (tangente alla circonferenza in B)
Su questa semiretta prendiamo un punto P e congiungiamo P con A
PA interseca la circonferenza ulteriormente in M

Indichiamo BA^P = x°
Determiniamo le misure degli angoli che ci interessano
MB^P = BA^P = x° perché insistono sullo stesso arco BM
(BA^P ha il lati entrambi secanti la circonferenza, MB^P ha i lati uno secante ed uno tangente)

Poiché AB è il lato del triangolo equilatero inscritto, risulta
AM^B = 60°
BM^P = 120° (supplementare di AM^P)

Nel triangolo BMP è quindi
MB^P = x°
BM^P = 120°
MP^B = 60° - x°

Dovendo essere BM + MP = kBP, i casi limite
x° = 0°
x° = 60°
non sono accettabili e le limitazioni per l'angolo incognito sono quindi
0°< x° < 60°

Applichiamo il teorema dei seni:

BM / sen(60° - x) = BP / sen(120°)

Poiché sen(120°) = sen(60°), risulta

BM = BP*sen(60° - x°) / sen(60°)

MP / sen(x°) = BP / sen(120°)

quindi

MP = BP*sen(x°) / sen(60°)

Impostiamo l'equazione risolvente:

BP*sen(60° - x°) / sen(60°) + PB*sen(x°) / sen(60°) = kBP

sen(60° - x°) + sen(x°) = (k√3)/2

Applichiamo la formula di sottrazione del seno:

sen(60°)cos(x°) - cos(60°)sen(x°) + sen(x°) = (k√3)/2

(1/2)[cos(x°)√3 - sen(x°)]+ sen(x°) = (k√3)/2

cos(x°)√3 + sen(x°) = k√3

Ora indichiamo

cos(x°) = X
sen(x°) = Y

e la relazione è

X√3 + Y - k√3 = 0

Le limitazioni diventano quindi

1/2 < cos(x°) = X < 1

Consideriamo la circonferenza goniometrica di centro O e raggio unitario ed impostiamo

{X² + Y² = 1
{Y = - X√3 + k√3
{1/2 < X < 1; k > 0


Della circonferenza goniometrica consideriamo solo l'arco dato dalle limitazioni
A[1/2;(√3)/2]
B(1;0)

La seconda equazione rappresenta analiticamente un fascio di rette parallele (fascio improprio) la cui retta base è ottenuta per k = 0 ed ha equazione
Y = -X√3

Una retta del fascio passa per A
Sostituiamo le coordinate di A nella retta del fascio:
(√3)/2 = (-√3)/2 + k(√3)

k = 1/2 + 1/2 = 1

Per k = 1 una soluzione limite A

Una retta del fascio passa per B

0 = - √3 + k√3
k = 1
Per k = 1 una soluzione limite B

E' evidente che per A e per B passa la stessa retta del fascio.
Per k = 1 due soluzioni limite (ricordiamo non accettabili)

Ora vediamo la tangenza. Una retta del fascio è tangente all'arco AB di circonferenza. Questo significa che la distanza dal centro alla tangente è congruente alla misura del raggio
La retta ha equazione
Y = -x√3 + k√3

Il centro ha coordinate O(0;0)
Formula della distanza punto-retta, considerando che il punto (centro) sta sempre sotto la retta:

(mX + q - Y)/√(1 + m²) = r
(0 + k√3 - 0) / √(3 + 1) = 1

k√3 = 2
k = 2/√3 = (2√3)/3

Per k = (2√3)/3 si hanno due soluzioni coincidenti (tangenza)

Il problema ha due soluzioni per
1 < k ≤ (2√3)/3

Spero che vada bene, se hai dubbi sono qui ancora per un pochino.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, Ifrit
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Os