Problema trigonometrico con discussione di sistemi parametrici

Vi posto un problema trigonometrico, in cui devo fare la discussione dei sistemi parametrici applicati alla Geometria Analitica. Mi potete spiegare come farlo?

Traccia: in una circonferenza di centro O la corda AB è uguale al lato del triangolo equilatero inscritto. Condotta per B la semiretta tangente alla circonferenza che giace, rispetto ad AB, nel semipiano che contiene il centro O, determinare sulla semiretta un punto P tale che si abbia ove M è l'ulteriore intersezione di AP con la circonferenza e K un numero reale positivi. Porre l'angolo .

Ciao,

l'esercizio è un po' lunghetto ma facciamoci coraggio.

Un bel disegno ed il problema si risolve quasi da sé.
Circonferenza di centro O e diametro orizzontale BC
Nella semicirconferenza inferiore rispetto al diametro BC portiamo la corda BA
Da B alziamo la perpendicolare a BC (tangente alla circonferenza in B)
Su questa semiretta prendiamo un punto P e congiungiamo P con A
PA interseca la circonferenza ulteriormente in M

Indichiamo BA^P = x°
Determiniamo le misure degli angoli che ci interessano
MB^P = BA^P = x° perché insistono sullo stesso arco BM
(BA^P ha il lati entrambi secanti la circonferenza, MB^P ha i lati uno secante ed uno tangente)

Poiché AB è il lato del triangolo equilatero inscritto, risulta
AM^B = 60°
BM^P = 120° (supplementare di AM^P)

Nel triangolo BMP è quindi
MB^P = x°
BM^P = 120°
MP^B = 60° - x°

Dovendo essere BM + MP = kBP, i casi limite
x° = 0°
x° = 60°
non sono accettabili e le limitazioni per l'angolo incognito sono quindi
0°< x° < 60°

Applichiamo il teorema dei seni:

BM / sen(60° - x) = BP / sen(120°)

Poiché sen(120°) = sen(60°), risulta

BM = BP*sen(60° - x°) / sen(60°)

MP / sen(x°) = BP / sen(120°)

quindi

MP = BP*sen(x°) / sen(60°)

Impostiamo l'equazione risolvente:

BP*sen(60° - x°) / sen(60°) + PB*sen(x°) / sen(60°) = kBP

sen(60° - x°) + sen(x°) = (k√3)/2

Applichiamo la formula di sottrazione del seno:

sen(60°)cos(x°) - cos(60°)sen(x°) + sen(x°) = (k√3)/2

(1/2)[cos(x°)√3 - sen(x°)]+ sen(x°) = (k√3)/2

cos(x°)√3 + sen(x°) = k√3

Ora indichiamo

cos(x°) = X
sen(x°) = Y

e la relazione è

X√3 + Y - k√3 = 0

Le limitazioni diventano quindi

1/2 < cos(x°) = X < 1

Consideriamo la circonferenza goniometrica di centro O e raggio unitario ed impostiamo

{X² + Y² = 1
{Y = - X√3 + k√3
{1/2 < X < 1; k > 0


Della circonferenza goniometrica consideriamo solo l'arco dato dalle limitazioni
A[1/2;(√3)/2]
B(1;0)

La seconda equazione rappresenta analiticamente un fascio di rette parallele (fascio improprio) la cui retta base è ottenuta per k = 0 ed ha equazione
Y = -X√3

Una retta del fascio passa per A
Sostituiamo le coordinate di A nella retta del fascio:
(√3)/2 = (-√3)/2 + k(√3)

k = 1/2 + 1/2 = 1

Per k = 1 una soluzione limite A

Una retta del fascio passa per B

0 = - √3 + k√3
k = 1
Per k = 1 una soluzione limite B

E' evidente che per A e per B passa la stessa retta del fascio.
Per k = 1 due soluzioni limite (ricordiamo non accettabili)

Ora vediamo la tangenza. Una retta del fascio è tangente all'arco AB di circonferenza. Questo significa che la distanza dal centro alla tangente è congruente alla misura del raggio
La retta ha equazione
Y = -x√3 + k√3

Il centro ha coordinate O(0;0)
Formula della distanza punto-retta, considerando che il punto (centro) sta sempre sotto la retta:

(mX + q - Y)/√(1 + m²) = r
(0 + k√3 - 0) / √(3 + 1) = 1

k√3 = 2
k = 2/√3 = (2√3)/3

Per k = (2√3)/3 si hanno due soluzioni coincidenti (tangenza)

Il problema ha due soluzioni per
1 < k ≤ (2√3)/3

Spero che vada bene, se hai dubbi sono qui ancora per un pochino.