Equazione circonferenza conoscendo le rette tangenti

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Equazione circonferenza conoscendo le rette tangenti #16444

avt
depe_
Cerchio
Ciao a tutti! Non riesco a risolvere questo problema sull'equazione della circonferenza a partire dalle rette tangenti...

Scrivere l'equazione della circonferenza tangente alla retta di equazione y=-2x+4 nel punto di ascissa 1 e tangente alla retta y=-2x-16. Determinare le coordinate del punto di tangenza con la seconda retta. Come risultano i punti di tangenza rispetto al centro della circonferenza? Darne anche una giustificazione.

Vi ringrazio..
 
 

Equazione circonferenza conoscendo le rette tangenti #16466

avt
Omega
Amministratore
Ciao Depe_ emt naturalmente ci serviranno le formule della circonferenza, dunque conviene che tu le tenga a portata di browser emt

E' di grandissimo aiuto osservare che le due rette

y=-2x+4

y=-2x-16

sono parallele. Consideriamo il punto di ascissa x=1 appartenente alla prima retta, cui corrisponde l'ordinata y=2.

Ricordando che il raggio che congiunge il centro della circonferenza con il punto di tangenza è perpendicolare alla retta tangente, possiamo individuare facilmente il coefficiente angolare della retta contenente il raggio che congiunge il centro C=(x_C,y_C) con il punto A=(1,2)

m=\frac{1}{2}

non ho fatto altro che usare la condizione di perpendicolarità tra due rette. Quindi la retta passante per A,C è data da

y-y_A=\frac{1}{2}(x-x_A)

y-2=\frac{1}{2}(x-1)

distanza y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}

Mettendo a sistema tale equazione con l'equazione della retta y=-2x-16 troviamo come punto di intersezione

B=\left(-7,-2\right)

Il punto medio M del segmento AB è il centro della circonferenza

x_M=\frac{-7+1}{2},y_M=\frac{-2+2}{2}

cioè

C=M=(-3,0)

La distanza tra il centro C e uno dei due punti di tangenza (vedi la formula per la distanza tra due punti nel piano) fornisce la misura del raggio della circonferenza

r=\sqrt{(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2}

r=\sqrt{(1+3)^2+(2+0)^2}=\sqrt{20}

La circonferenza è dunque

(x+3)^2+(y+0)^2=20

Ecco fatto emt
Ringraziano: LittleMar, Ifrit, Danni

Equazione circonferenza conoscendo le rette tangenti #16468

avt
Danni
Sfera
Ciao Depe emt
Essendo le due rette parallele (coefficiente angolare = - 2) le portiamo in forma implicita (ax + by + c = 0)
r) 2x + y - 4 = 0
s) 2x + y + 16 = 0
e possiamo calcolare subito la loro distanza che è la misura del diametro (2r)

2r = |c - c'|/√(a² + b²) = |16 + 4|/√5 = 4√5 =
Il raggio misura la metà del diametro, quindi
r = 2√5

Il punto T di tangenza indicato ha x = 1
yT = - 2 + 4 = 2
T(1;2)
Il centro della circonferenza sta sulla retta perpendicolare alla tangente in T(1;2). Il coefficiente angolare della retta del centro è antireciproco rispetto a quello della tangente e vale m = 1/2
Equazione della retta del centro:
y - yT = m(x - xT)
y - 2 = (1/2)(x - 1)
y = x/2 + 3/2 = (x + 3)/2

Le coordinate del centro sono quindi
C[x;(x + 3)/2]

La distanza del centro dalla tangente r) è uguale alla misura del raggio:
|4x + x + 3 - 8|/(2√5) = 2√5

|5x - 5| = 20

5|x - 1| = 20

|x - 1| = 4

x = 1 ± 4

Poichè l'ascissa di C deve essere minore dell'ascissa di T (xC < 1),
risulta
xC = - 3
yC = (x + 3)/2 = 0
C(-3;0)

Equazione della circonferenza:
(x - xC)² + (y - yC)² = r²
(x + 3)² + y² = 20
x² + y² + 6x - 11 = 0

Coordinate del punto T' di tangenza: poiché C è punto medio del diametro TT', è
xT' = 2xC - xT = - 6 - 1 = - 7
yT' = 2yC - yT = 0 - 2 = - 2
T'(-7;-2)

I punti T, T' sono simmetrici rispetto al centro C della circonferenza proprio perché C è punto medio del diametro TT'

ciao* emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, Ifrit
  • Pagina:
  • 1
Os