Esercizio sull'equazione dell'ellisse

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Esercizio sull'equazione dell'ellisse #16410

avt
silvia18
Banned
Avrei un problema da risolvere riguardante l'ellisse e in particolare l'equazione dell'ellisse, se vi posto il testo potete spiegarmi come fare?

Scrivi le equazioni delle ellissi riferite ai propri assi e al centro che soddisfano le seguenti condizioni:

a) ha semiasse maggiore uguale a 8 e semidistanza focale uguale a 5;

b) ha i fuochi sull'asse y, passa per il punto di coordinate \left(\frac{1}{3},\sqrt{26}\right) e semiasse maggiore triplo del minore;

c) ha semiasse maggiore uguale a 5 e passa per il punto di coordinate \left(\frac{5}{4},-\sqrt{15}\right).

Grazie a tutti!
 
 

Esercizio sull'equazione dell'ellisse #16417

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ricorda che l'equazione dell'ellisse è:

\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1

(ti consiglio di tenere a portata di mano il formulario sull'ellisse, ti tornerà utile). Sappiamo che il semiasse maggiore vale 8, quindi:

a=8\implies a^2=64

mentre la semidistanza focale vale 5 quindi:

c=5

Possiamo calcolare l'altro parametro tramite la relazione:

b^2=a^2-c^2=64-25=39

L'equazione dell'ellisse è quindi:

\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{39}=1

Questa è l'equazione dell'ellisse che ha l'asse maggiore sull'asse X, nel caso in cui l'asse maggiore fosse sull'asse Y allora l'equazione è:


b) L'equazione dell'ellisse è sempre quella, inoltre sappiamo che i fuochi stanno sull'asse Y quindi a^2<b^2, inoltre sappiamo che passa per il punto

P\left(\frac{1}{3},\sqrt{26}\right)

Sappiamo inoltre che b=3a\implies b^2= 9a^2, quindi l'equazione dell'ellisse si riscrive come:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{9a^2}= 1

Imponiamo il passaggio per il punto P:

\frac{1}{9a^2}+\frac{26}{9a^2}=1

Da cui:

\frac{27}{9a^2}=1\implies \frac{3}{a^2}=1\iff a^2=3

Quindi:

b^2= 9a^2=9\cdot 3=27

L'equazione dell'ellisse è quindi:

\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{27}=1


c) L'equazione dell'ellisse è sempre la stessa. Supponiamo che il semiasse maggiore sia a=5.

L'equazione dell'ellisse si riscrive come:

\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{b^2}=1

Imponiamo il passaggio per il punto Q\left(\frac{5}{4},-\sqrt{15}\right):

\frac{25}{16\cdot 25}+\frac{15}{b^2}=1

Semplificando:

\frac{1}{16}+\frac{15}{b^2}=1

Risolviamo l'equazione rispetto a b^2:

b^2= 16

L'equazione dell'ellisse è quindi:

\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os