Esercizio sull'equazione dell'ellisse

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Esercizio sull'equazione dell'ellisse #16410

avt
silvia18
Banned
Avrei un problema da risolvere riguardante l'ellisse e in particolare l'equazione dell'ellisse, se vi posto il testo potete spiegarmi come fare?

Scrivi le equazioni delle ellissi riferite ai propri assi e al centro che soddisfano le seguenti condizioni:

a) ha semiasse maggiore uguale a 8 e semidistanza focale uguale a 5;

b) ha i fuochi sull'asse y, passa per il punto di coordinate \left(\frac{1}{3},\sqrt{26}\right) e semiasse maggiore triplo del minore;

c) ha semiasse maggiore sull'asse x ed uguale a 5, e passa per il punto di coordinate \left(\frac{5}{4},-\sqrt{15}\right).

Grazie a tutti!
 
 

Esercizio sull'equazione dell'ellisse #16417

avt
Ifrit
Amministratore
Ci viene chiesto di scrivere le equazioni delle ellissi riferite ai propri assi e al centro, e che soddisfano le seguenti condizioni:

a) ha semiasse maggiore uguale a 8 e semidistanza focale uguale a 5;

b) ha i fuochi sull'asse y, passa per il punto di coordinate \left(\frac{1}{3},\sqrt{26}\right) e semiasse maggiore triplo del minore;

c) ha semiasse maggiore sull'asse x ed uguale a 5, e passa per il punto di coordinate \left(\frac{5}{4},-\sqrt{15}\right).

Analizziamo i casi uno per volta, ma prima ricordiamo che l'equazione dell'ellisse con centro nell'origine degli assi è

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1

dove a,b indicano le misure dei semiassi dell'ellisse.


Svolgimento del punto a)

Viene richiesta l'equazione dell'ellisse con semiasse maggiore uguale a 8 e semidistanza focale uguale a 5.

Sappiamo che il semiasse maggiore vale 8, ossia a=8, da cui segue

a^2=64

Poiché la semidistanza focale vale 5 (c=5), possiamo calcolare il valore del parametro b tramite la relazione:

b^2=a^2-c^2

da cui otteniamo

b^2=64-25=39

L'equazione dell'ellisse è quindi:

\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{39}=1

Questa però è l'equazione dell'ellisse che ha l'asse maggiore sull'asse x.

Nel caso in cui l'asse maggiore fosse sull'asse y, allora l'equazione sarebbe:

\frac{x^2}{39}+\frac{y^2}{64}=1


Svolgimento del punto b)

Viene richiesta l'equazione dell'ellisse con i fuochi sull'asse y, che passa per il punto P\left(\frac{1}{3},\sqrt{26}\right) e ha semiasse maggiore triplo del minore.

Partiamo sempre dall'equazione generica dell'ellisse

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

Poiché i fuochi dell'ellisse stanno sull'asse y, il semiasse maggiore è b e quello minore è a, per cui b=3a

Da ciò segue che

b^2=9a^2

e quindi l'equazione dell'ellisse è della forma

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{9a^2}= 1

Imponiamo poi il passaggio per il punto P

\frac{1}{9a^2}+\frac{26}{9a^2}=1

da cui si ricava a^2=3

Di conseguenza

b^2 = 9a^2=9\cdot 3=27

e l'equazione dell'ellisse è:

\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{27} =1


Svolgimento del punto c)

Viene richiesta l'equazione dell'ellisse che ha semiasse maggiore sull'asse x ed uguale a 5, e che passa per il punto Q\left(\frac{5}{4},-\sqrt{15}\right).

Come sempre scriviamo l'equazione generale dell'ellisse

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

Il semiasse maggiore è a=5.

L'equazione dell'ellisse si riscrive come:

\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{b^2}=1

Imponiamo il passaggio per il punto Q:

\frac{25}{16\cdot 25}+\frac{15}{b^2}=1

e semplifichiamo

\frac{1}{16}+\frac{15}{b^2}=1

Risolviamo l'equazione rispetto a b^2:

b^2= 16

L'equazione dell'ellisse è quindi:

\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1

Fine!
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os