Equazione dell'iperbole passante per due punti

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Equazione dell'iperbole passante per due punti #16375

avt
silvia18
Banned
Ciao ragazzi, ho due problemi sull'iperbole, nel primo devo trovare l'equazione di un'iperbole passante per due punti, nell'altra conosco il vertice e il fuoco dell'iperbole e devo determinarla.

1) Scrivi l'equazione dell'iperbole che passa per i punti punti P(1,1),\ Q(3,2).

Soluzione del libro: \frac{3}{5}x^2-\frac{8}{5}y^2=-1.

2) Determina l'equazione dell'iperbole che ha un vertice nel punto di coordinate (5,0)e un fuoco nel punto di coordinate (7,0)

Soluzione del libro: \frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{24}=1.
 
 

Equazione dell'iperbole passante per due punti #16390

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao silvia18, apri il formulario sull'iperbole e segui il mio svolgimento. emt

L'equazione canonica dell'iperbole è:

I:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1

Imponiamo il passaggio per i punti che hai a disposizione:

P(1, 1)\in I \iff \frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}=-1

Q(3,2)\in I \iff \frac{9}{a^2}-\frac{4}{b^2}=-1

Impostiamo il sistema con le equazioni ottenute:

\begin{cases}\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}=-1\\ \frac{9}{a^2}-\frac{4}{b^2}=-1\end{cases}

Utilizziamo ora le sostituzioni che linearizzano il sistema:

u= \frac{1}{a^2}

v= \frac{1}{b^2}

Il sistema si riscrive come:

\begin{cases}u-v=-1\\ 9u-4 v=-1\end{cases}

Risolviamo il sistema per sostituzione, dalla prima equazione isoliamo una incognita, ad esempio u

u= v-1

Sostituiamo nella seconda equazione:

9(v-1)-4v=-1\iff 9v-9-4v=-1\iff 5v= 8

Da qui otteniamo il primo parametro che è

v= \frac{8}{5}

Mentre il secondo lo otteniamo sostituendo 8/5 nella equazione:

u= v-1\iff u= \frac{8}{5}-1= \frac{3}{5}

Possiamo quindi concludere che:

\frac{1}{a^2}= u= \frac{3}{5}

mentre

\frac{1}{b^2}= v= \frac{8}{5}

L'equazione dell'iperbole è quindi:

I: \frac{3}{5}x^2-\frac{8}{5}y^2=-1

Il primo è andato emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Equazione dell'iperbole passante per due punti #16395

avt
Ifrit
Amministratore
Per quanto riguarda il secondo esercizio.

L'equazione dell'iperbole è sempre la stessa:

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

Abbiamo il vertice:

V\left(5, 0\right)

mentre il fuoco è:

F(7, 0)

Sappiamo che il vertice è del tipo

V(\pm a, 0)

con a=5 da cui a^2= 25 quindi conosciamo un parametro che definisce l'equazione dell'iperbole. Inoltre conosciamo le coordinate di uno dei due fuochi dell'iperbole, che sono del tipo:

F(\pm c, 0)

con c= 7

Ci manca b e per calcolarlo utilizziamo la relazione:

c= \sqrt{a^2+b^2}\implies b= \sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{7^2-5^2}= \sqrt{24}

di conseguenza

b^2= 24

L'equazione dell'iperbole è quindi:

\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{24}=1
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os