Equazione di una parabola con retta tangente

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Equazione di una parabola con retta tangente #16323

avt
erica
Punto
Ciao ragazzi, non riesco a risolvere questo problema sulla parabola conoscendo l'equazione della retta tangente:

determinare l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y passante per l'origine e tangente alla retta 3x-y-2=0 nel suo punto di ascissa 1.

Ho provato ad utilizzare il metodo nel quale si impone alla generica equazione y=ax^2+bx+c il passaggio per i punti (0;0) e (1;1) che è il punto di intersezione della parabola con la tangente data;poi si fa intersezione tra generica equazione parabola e tangente ed infine faccio un sistema a tre equazioni;il problema è che il risultato non viene. Help me please!!

Grazie in anticipo emt
 
 

Equazione di una parabola con retta tangente #16333

avt
cicchibio
Cerchio
Ciao Erica.

Il procedimento che hai fatto è giusto, probabilmente sbagli nei calcoli.

Provo a svolgertelo:

 y=ax^2+bx+c

T(1;1) ; O(00)

Passaggio per T:

 a+b+c=1

Passaggio per O:

 c=0

Da cui:

 a+b=1 ;  b=1-a

Sostituisci nella generica e fai il sistema con la tangente:

{  y = ax^2 + (1-a)x

{  y = 3x-2

 ax^2 + (1-a)x = 3x - 2

 ax^2 + (1-a)x - 3x + 2 = 0

 ax^2 + (-a-2)x + 2 = 0

 \Delta = (-a-2)^2 - 8a

La condizione di tangenza è ∆=0:

 a^2 + 4a - 8a + 4 = 0

 a^2 + -4a + 4 = 0

 (a-2)^2 = 0

 a = 2 ;  b = 1-a = -1 ;  c=0

Dunque la parabola è:

 y = 2x^2 - x
Ringraziano: Omega, Pi Greco, erica, Danni

Equazione di una parabola con retta tangente #16337

avt
erica
Punto
grazie mille erano proprio i calcoli ad essere sbagliati emt

Equazione di una parabola con retta tangente #16405

avt
Danni
Sfera
Ciao Erica emt
Nel corso di procedimenti 'lunghi' l'errore di calcolo (benedetti segni emt ) è sempre dietro l'angolo.
Per la condizione di tangenza, solitamente nei Licei ci si ferma al mitico Δ = 0 della risolvente ma c'è una formuletta magica che ti consente un calcolo più veloce e quindi meno pericoloso emt
Anche se non hai ancora studiato le derivate, è possibile dimostrare analiticamente un teorema che conduce a questa tesi: per parabole con asse parallelo all'asse y è
m = 2a(xT) + b, dove
m = coefficiente angolare della tangente
xT = ascissa del punto di tangenza.

Tu devi determinare l'equazione di una parabola con asse // asse y e passante per l'origine, la cui equazione generica è quindi
y = ax² + bx
(manca il termine c)

Sai che il punto T di tangenza appartiene alla parabola e alla retta di equazione 3x - y - 2 = 0 che ha coefficiente angolare = 3
xT = 1
yT = 3 - 2 = 1
T(1;1)

Sostituendo le coordinate di T nella generica per la condizione di appartenenza di T alla parabola hai
a + b = 1

Applicamdo la formuletta magica
m = 2axT + b
ottieni
3 = 2a(1) + b
ovvero
2a + b = 3

Niente di più facile ora che risolvere il sistema
{- a - b = - 1 (cambio dei segni per il metodo di riduzione)
{2a + b = 3
somma membro a membro: a = 2

{a = 2
{b = 1 - a

{a = 2
{b = - 1

E l'equazione della tua parabola è
y = 2x² - x

Nel caso di parabola con asse // asse x, si dimostra che è
m = 1 / [2a(yT) + b]

Se proprio il prof esigesse il metodo del Δ = 0, ricorda che, poiché T appartiene sia alla parabola che alla retta, Δ = 0 significa due soluzioni reali coincidenti, quindi quadrato di binomio.
Come ti ha mostato Chicchibio, si arriva proprio a
(a - 2)² = 0
e ritrovandoti il quadrato di binomio sei sicura di avere operato correttamente.

Buono studio, ciao* emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit
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Os