Retta che stacca su una parabola una corda di una certa lunghezza

Ciao ragazzi, ho un problema sulla parabola e sulle rette che non riesco a risolvere.

data la parabola di equazione y=-x^2-2x+8=0 determinare l'equazione di una retta parallela all'asse x in modo che la corda staccata su di essa dalla parabola sia lunga 3.

Grazie in anticipo!

Buongiorno Erica
Il problema non è difficile e puoi risolvere in due modi. Non conoscendo le esigenze del tuo prof, scegliamo la strada più semplice.

Cominciamo con un disegno chiaro e preciso. La parabola ha asse // asse y, volge la concavità verso il basso ed ha vertice in V(- 1;9)
Intersezioni con l'asse x in (-4;0) e (2;0)
Intersezione con l'asse y in (0;8)

Ora consideriamo un fascio di rette parallele all'asse x, di equazione
y = t
Limitazione per t:
t < 9 (ordinata del vertice)

Intersechiamo con l'equazione della parabola ed otteniamo
x² + 2x - 8 + t = 0

Δ/4 = 1 + 8 - t = 9 - t
e per la realtà di due soluzioni distinte (le ascisse degli estremi A,B della corda) è confermato t < 9

x₁,₂ = - 1 ± √(9 - t)

La retta interseca la parabola nei due punti distinti A, B le cui ascisse sono
xA = x₂ = - 1 + √(9 - t)
xB = x₁ = - 1 - √(9 - t)

Poiché la retta è parallela all'asse x, la misura della corda AB è data dalla differenza in valore assoluto delle ascisse.
Considerando che è x₂ > x₁ possiamo scrivere direttamente
AB = x₂ - x₁ = - 1 + √(9 - t)+ 1 + √(9 - t)= 2√(9 - t)

Deve essere
2√(9 - t) = 3

Eleviamo al quadrato
4(9 - t) = 9
36 - 4t = 9
t = 27/4

Poiché y = t, la retta richiesta ha equazione
y = 27/4

Verifichiamo?
Se t = 27/4
xA = - 1 + √(9 - 27/4) = - 1 + 3/2
xB = - 1 - √(9 - 27/4)= - 1 - 3/2
AB = xA - xB = - 1 + 3/2 + 1 + 3/2 = 6/2 = 3
La corda AB misura 3

ciao*

Ciao Danni, sono curioso di sapere qual' è l'altro modo per risolvere l'esercizio potresti postarlo? Grazie

Caro jino, benvenuto in YM!!!

Il metodo che di solito consiglio non è quello che ho esposto sopra e al quale mi attengo solo perché so che solitamente è seguito dalla maggior parte dei docenti.
Quest'altro metodo è molto più veloce e consiste nell'utilizzare la parabola traslata che abbia asse di simmetria coincidente con l'asse y
In questo caso basta spostare il vertice in (0;9) con b = 0, quindi la parabola assume equazione
Y = - X² + 9
Con Y = t risulta subito

X = ± √(9 - t)

AB = differenza delle ascisse = 2√(9 - t)= 3
da cui tutto il resto.
Vedi che ci si arriva immediatamente, basta traslare.

Buona domenica, ciao*