Due esercizi sull'ellisse: coordinate del vertice, dei fuochi, eccentricità e rette tangenti

Ciao ragazzi, ho 2 problemi da risolvere sull'ellisse, in cui devo calcolare vertice, fuochi, eccentricità e rette tangenti: spero che mi possiate aiutare. Grazie.

Primo esercizio: di ciascuna delle seguenti ellissi, scrivi l'equazione canonica,trova le coordinate dei vertici e dei fuochi, determina l'eccentricità:

a. ->

b. ->

Secondo:

a. data l'ellisse di equazione scrivi le equazioni delle rette ad essa tangenti uscenti dal punto di coordinate .

b. Scrivi l'equazione dell'ellisse riferita al centro e agli assi che,nel punto di coordinate , è tangente alla retta di equazione .

Vi ringrazio!

Ciao Silvia18

Tieni presente il formulario sull'ellisse. Per i primi due esercizi l'equazione dell'ellisse viene data sotto la forma

b²x² + a²y² = a²b²

Ricorda che l'ellisse riferita al centro e agli assi ha equazione canonica

x²/a² + y²/b² = 1

Se non è data in questa forma, pensiamo noi a farla diventare canonica dividendo i coefficienti per il termine noto

1a)

6x² + 8y² = 24

è già un poco ridondante perchè può essere scritta come

3x² + 4y² = 12

Dividendo i coefficienti per 12 otteniamo

x²/4 + y²/3 = 1

ed abbiamo la forma canonica.

Coordinate dei vertici:

sull'asse x: A(a;0), A'(-a;0). Quindi A(2;0), A'(-2;0)

Sull'asse y: B(0;b), B'(0;-b). Quindi B(0;√3), B'(0;-√3)

Poiché a² = 4 > b² = 3, i fuochi dell'ellisse appartengono all'asse x (se fosse b² > a² i fuochi apparterrebbero all'asse y e sarebbe tutta un'altra faccenda)

Vale quindi la relazione

c² = a² - b²

dove c è la semidistanza focale.

Dunque:

c² = 4 - 3 = 1

I fuochi hanno quindi coordinate: F(c;0), F'(-c;0), ovvero F(1;0), F'(-1;0).

L'eccentricità indica lo 'schiacciamento' dell'ellisse sull'asse focale, si indica con 'e' e nel nostro caso (asse focale coincidente con l'asse x) è data dal rapporto

e = c/a

quindi

e = 1/2


1b)

Possiamo scrivere

3x² + y² = 3

Dividiamo i coefficienti per 3

x² + y²/3 = 1 (forma canonica)

In questo secondo esercizio risulta

a² = 1 < b² = 3

L'asse focale coincide con l'asse y

Coordinate dei vertici sull'asse x: A(a;0), A'(-a;0). Quindi A(1;0), A'(-1;0)

Coordinate dei vertici sull'asse y: B(0;b), B'(0;-b). Quindi B(0;√3), B'(0;-√3)

In questo caso vale la relazione

c² = b² - a²

c² = 3 - 1 = 2

Coordinate dei fuochi: F(0;c), F'(0;-c). Quindi F(0;√2), F'(0;-√2)

Questa volta il rapporto che determina l'eccentricità è dato da

e = c/b

e = √2/√3 = (√6)3


2a)

Questa volta abbiamo l'eqauzione dell'ellisse in forma canonica ma dispettosamente a noi serve sotto l'altra forma, quindi un bel denominatore comune = 9*16 = 144 ed otteniamo

16x² + 9y² = 144

Ora determiniamo l'equazione del fascio proprio di rette di centro P(0;6)

y - yP = m(x - xP)

y = mx + 6

Sostituiamo questa equazione nell'equazione dell'ellisse ed otteniamo la risolvente

16x² + 9(mx + 6)² - 144 = 0

Un poco di conticini:

16x² + 9(m²x² + 12mx + 36) - 144 = 0

ed arriviamo a

(16 + 9m²)x² + 108mx + 180 = 0

Di questa risolvente imponiamo Δ = 0 per la condizione di tangenza tra retta e ellisse

Δ/4 = 2916m² - 180(16 + 9m²) = 36[81m² - 5(16 + 9m²)] = 0

36m² - 80 = 4(9m² - 20) = 0

m² = 20/9

m = ± (2√5)/3

Ed abbiamo determinato i coefficienti angolari delle due tangenti che sostituiamo nell'equazione del fascio ottenendo così le equazioni delle due tangeti condotte da P(0;6):

y = ± (2√5)x/3 + 6


2b)

Partiamo dalla forma

b²x² + a²y² = a²b²

Appartenenza di P(-3;8/5)

9b² + 64/25a² = a²b²

ovvero

225b² + 64a² = 25a²b² (*)

Ora vediamo la tangenza. L'equazione della tangente è

y = (3x + 25)/10

Sostituiamo nell'equazione generica ed otteniamo

b²x² + (3x + 25)²a²/100 = a²b²

100b²x² + 9a²x² + 150a²x + 625a² - 100 a²b² = 0

(100b² + 9a²)x² + 150a²x + 25a²(25 - 4b²) = 0

Calcoliamo Δ/4 (delta quarti) e lo imponiamo = 0 per la condizione di tangenza:

Δ/4 = 5625a⁴ + 25a²(4b² - 25)(100b² + 9a²) =

= 25a²(225a² + 400b⁴ + 36a²b² - 2500b² - 225a²) = 0

Δ/4 = 400b⁴ + 36a²b² - 2500b² = 4b²(100b² + 9a² - 625) = 0

dunque Δ/4 = 100b² + 9a² - 625 = 0, da cui

b² = (625 - 9a²)/100 (*)

Impostiamo un sistema con le due equazioni in a²,b²(*)

{b² = (625 - 9a²)/100
{225b² + 64a² = 25a²b²

Sostituiamo ed otteniamo

{b² = (625 - 9a²)/100
{225(625 - 9a²)/100 + 64a² = 25a²(625 - 9a²)/100

Semplifichiamo e portiamo avanti la seconda equazione:

9(625 - 9a²)/4 + 64a² = (625a² - 9a⁴)/4

9(625 - 9a²) + 256a² = 625a² - 9a⁴

9a⁴ - 369a² + 9(625 - 9a²) = 0

Semplifichiamo ancora:

a⁴ - 41a² + 625 - 9a² = 0

e finalmente arriviamo a

a⁴ - 50a² + 625 = 0

ovvero all'atteso quadrato di binomio

(a² - 25)² = 0

con a² = 25

Riprendiamo il sistema:

{a² = 25
{b² = (625 - 9a²)/100

{a² = 25
{b² = (625 - 225)/100

{a² = 25
{b² = 400/100

{a² = 25
{b² = 4

Scriviamo l'equazione dell'ellisse in forma canonica:

x²/25 + y²/4 = 1

Fatto, ciao*