Ellisse e equazione dipendente da un parametro

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Ellisse e equazione dipendente da un parametro #16031

avt
nasticaruccetta
Punto
Salve, sono nuova qui: avrei un problema sull'ellisse in cui devo determinare il valore di un parametro, in un'equazione, per il quale essa rappresenta per l'appunto un'ellisse. Spero che mi possiate dare una mano...

Ho un'equazione: kx^2+(k+3)y^2=k+15

Per quali valori di k questa è un'ellisse?

Grazie in anticipo emt
 
 

Ellisse e equazione dipendente da un parametro #16039

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao nasicaruccetta, benvenuta nel forum di YM emt

Vediamo di procedere.

Per prima cosa ricordiamo che l'equazione canonica dell'ellisse con centro nell'origine è:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

L'equazione che proponi è:

k x^2+(k+3)y^2= k+15

La prima cosa che salta all'occhio è che al secondo membro abbiamo k+15 e non 1, ma non disperiamo, dividiamo membro a membro per k+15, assicurandoci che:

k+15\ne 0\iff k=-15

In matematica infatti è vietatissimo dividere per zero.

L'equazione si riscrive quindi come:


\frac{k}{k+15} x^2+ \frac{(k+3)}{k+15}y^2= 1

Inoltre dobbiamo richiedere che i coefficienti di x^2\mbox{ e } y^2 siano positivi contemporaneamente, otteniamo il sistema di disequazioni:

\begin{cases}\frac{k}{k+15}>0\\ \frac{k+3}{k+15}>0\end{cases}

Risolviamo le disequazioni. Sono entrambe disequazioni fratte

\frac{k}{k+15}>0

Studiamo il segno del numeratore e del denominatore:

k>0

k+15>0\iff k>-15

Tabuliamo i segni:

N:- - - - - - (-15) - - - - - - 0 + + + + + + + + +
D:- - - - - - (-15) + + + + + + 0 + + + + + + + + +
T:+ + + + + + (-15) - - - - - - 0 + + + + + + + + +

L'insieme soluzione è:

S_1= x<-15\vee x> 0

Adesso studiamo la seconda disequazione:

\frac{k+3}{k+15}>0

Studiamo i segni del numeratore e del denominatore:

N:k+3>0\iff k>-3

D: k+15>0\iff k>-15

Tabuliamo i segni:

N: - - - - - - (-15) - - - (-3) + + + + + + + + + + + +
D: - - - - - - (-15) + + + (-3) + + + + + + + + + + + +
T: + + + + + + (-15) - - - (-3) + + + + + + + + + + + +

L'insieme soluzione è:

S_2: x<-15\vee x>-3

A questo punto intersechiamo le soluzioni:

S1:______________(-15).......(-3).....(0)_____________________
S2:______________(-15).......(-3)_____________________________
T :______________(-15).......(-3).....(0)_____________________


L'equazione rappresenta un'ellisse se e solo se:

k<-15\vee k>0
Ringraziano: Omega, Pi Greco, nasticaruccetta
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Os