Discussione geometrica di un sistema parametrico

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Discussione geometrica di un sistema parametrico #16002

avt
Bustedd
Cerchio
Ciao a tutti, devo fare la discussione geometrica per un sistema parametrico di equazioni con circonferenza e rette. E' un sistema misto che mi sembra mi venga ma non ne sono sicuro.

\begin{cases}{x^{2}} + {y^{2} -6x-6y+9=0\\ y = kx+k+6\\ 0 \leq x \leq 3\end{cases}

Allora i risultati del libro sono:

- 1 soluzione per -\frac{3}{2}< k \leq 0
- 2 soluzioni per -\frac{24}{7}\leq k \leq -\frac{3}{2}.


Comunque mi vengono i risultati. Dunque procedo così: calcolo centro e raggio della circonferenza e trovo C(3;3),\ r=3.

Considero il fascio proprio di rette

g_{1}:\ x=1
g_{2}:\ y=6

ottenute rispettivamente per k=infinito e k=0. Trovo il centro del fascio come intersezione tra le due generatrici: M(1;6) \leftarrow\ g_{1}\cap g_{2}.

Calcolo poi i punti A e B:

- con x=0 mi viene A(0;3)
- con x=3 mi viene B(3;6),\ D(3;0)

Calcolo poi i k delle rette limite:

- A appartiene al fascio f => k= -3
- B appartiene al fascio => k =0
- D appartiene al fascio => k = -3/2

Ho fatto il disegno ma dato che mi manca un risultato, che non so da dove venga, non mi esce! Cosa devo fare?

Grazie in anticipo!
 
 

Discussione geometrica di un sistema parametrico #16013

avt
Danni
Sfera
Ciao emt

Ti manca la condizione di tangenza: una retta del fascio è tangente alla semicirconferenza.

y = kx + k + 6

La misura della distanza del centro C(3;3) dalla tangente è congruente alla misura del raggio (r = 3)

Poiché il centro sta sempre al di sopra della tangente, usiamo la formula della distanza punto-retta che ci consente di evitare il valore assoluto:

(yC - kxC - q)/√(1 + k²) = r

3 - 3k - k - 6 = 3√(1 + k²)

- 4k - 3 = 3√(1 + k²)

eleviamo al quadrato:

16k² + 24k + 9 = 9 + 9k²

7k = - 24

k = - 24/7

voilà da dove esce questo altro k.

Quindi:

- se una retta del fascio passa per (0;6)

6 = k + 6

k = 0

una soluzione limite.

- Se una retta del fascio passa per (3;0)

0 = 3k + k + 6

k = - 3/2

due soluzioni, una limite ed una ordinaria.

- Se una retta del fascio è tangente alla semicirconferenza

k = - 24/7

due soluzioni coincidenti.

- 24/7 ≤ k ≤ - 3/2

due soluzioni

- 3/2 < k ≤ 0

una soluzione

ciao*
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Bustedd

Discussione geometrica di un sistema parametrico #16014

avt
Bustedd
Cerchio
Calcola che anche io ero arrivato a quel pezzo, ma il delta mi veniva negativo!

A me veniva infatti 7k² + 24k = 0
Non avrei mai pensato di dividerlo per k!

Grazie mille danny! emt

EDIT: ma se fassi la spuria quindi k(7k + 24) = 0 va bene lo stesso no?
Ringraziano: Danni

Discussione geometrica di un sistema parametrico #16027

avt
Danni
Sfera
Sì, k(7k + 24) = 0
k = 0 (soluzione già determinata)
k = - 24/7
In realtà anche la retta ottenuta per k = 0 è una tangente in (0;6) ma per l'intera circonferenza. Per la semicirconferenza data dalle limitazioni, il punto (0;6) è invece un punto limite di intersezione, unico e non inteso come soluzione doppia (x1 = x2 reali e coincidenti)
ciao*
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Bustedd

Discussione geometrica di un sistema parametrico #16028

avt
Bustedd
Cerchio
Comunque avendo fatto tutto mi ritrovo ancora, stupidamente, senza aver fatto la discussione.

Purtroppo ho sempre avuto problemi con i cartesiani e anche se ho fatto alla lettera quello che tu mi hai scritto, non sono riuscito a fare il disegno.

Qual'è il programma per fare i disegni come una volta ho visto fare a Ifrit?

Perchè non riesco proprio a disegnarlo giusto!
Ringraziano: Danni

Discussione geometrica di un sistema parametrico #16030

avt
Danni
Sfera
Se si tratta del disegno, penso che non avrai difficoltà a tracciare la circonferenza.
Centro in (3;3)
raggio = 3
vedi che la circonferenza è tangente all'asse y in (0;3)
Della circonferenza consideri solo la semicirconferenza a sinistra, compresa tra (3;6) e (3;0)
La difficoltà maggiore sta (credo) nell'individuare il centro del fascio proprio. Devi impostare un sistema con le equazioni delle generatrici del fascio che ricavi facilmente:
kx - y + k + 6 = 0
{k(x + 1) = 0
{y - 6 = 0

{x = - 1
{y = 6
Il centro del fascio ha coordinate Q(-1;6)
Ora se fai passare una retta del fascio da Q e da (3;6) che è come farla passare da (0;6) vedi che la retta è parallela all'asse x e tangente all'intera circonferenza ma non alla semicirconferenza (k = 0)
Se fai passare una retta da Q e da (3;1)ottieni le due soluzioni distinte (k = - 3/2)
Se da Q porti la tangente (situata al di sotto della retta precedente) hai le due soluzioni coincidenti (k = - 24/7)
Non so proprio come inviarti un disegno perché non riesco mai a farli arrivare sani, o meglio il link diventa muto dopo poco tempo.
Che dici, chiediamo aiuto ad Ifrit?
Ifriiiiiittttttttttttttttt aiutoooooooooooooooooo
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Bustedd

Discussione geometrica di un sistema parametrico #16032

avt
Ifrit
Amministratore
Spero d'aver interpretato per bene il problema emt


dinamico.html


[Edit]: M'è venuto piccolo, aspettate che riprovo in una qualità migliore emt



dinamico.html_2012 04 27


Uffa, io questo benedetto programma non lo capisco :( A volte fa dei manifesti pubblicitari grandi quanto alla parete del mio palazzo, altre volte fa grafici grandi quanto a fazzolettini di carta emt

Spero comunque che renda l'idea emt

In pratica le rette verdi sono quelle che intersecano la semicirconferenza in due punti, le rette blu invece intersecano la semicirconferenza in un solo punto emt
Ringraziano: Pi Greco, Bustedd, Danni

Discussione geometrica di un sistema parametrico #16033

avt
Danni
Sfera
Ifrit sei insostituibile, grazie infinite.
Mo' devo vedere perché a me non riesce, poi cercare una soluzione ed infine tentare di metterla in atto. Questo significa che ci rivedremo nel 2222...
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Bustedd

Discussione geometrica di un sistema parametrico #16036

avt
Bustedd
Cerchio
Trovato l'errore!

il centro del fascio è come hai detto tu danni è M(-1;6)!
Io avevo trovato M(1;6)!

Grazie mille Ifrit e Danni ancora per la vostra disponibilità!

E per la grandezza del disegno non c'è problema, hai già fatto tanto Ifrit! emt

Non so proprio come farei senza di voi! <3

EDIT: Scusatemi veramente per il tempo che vi ho fatto sprecare. . .
Alla fine era soltanto che avevo sbagliato il segno D:
Ringraziano: Ifrit, Danni

Discussione geometrica di un sistema parametrico #16041

avt
Danni
Sfera
Ma dai, che vuoi che sia un errorino di segno. Il mio docente d Analisi ne faceva due al minuto eppure era Giuseppe Zwirner...
Non dire mai che il nostro è tempo sprecato, siamo qui proprio per aiutarvi.
Sono contento che tu abbia risolto, ciao*
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit
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Os