Retta tangente in un punto della circonferenza

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Retta tangente in un punto della circonferenza #15811

avt
galiandro88
Punto
Poiché domani abbiamo il compito avrei bisogno d'aiuto per un esercizio sulla retta tangente ad una circonferenza in un punto.

Data la circonferenza di equazione x^2+y^2-4x+2y+1=0,verifica che il punto P(2;-3) appartiene alla circonferenza e scrivi l'equazione della retta tangente alla circonferenza in P.
 
 

Re: Retta tangente in un punto della circonferenza #15818

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao galiandro88, vediamo come procedere:

\Gamma: x^2+y^2-4x+2y+1=0

Per verificare che il punto P(2, -3) appartiene alla circonferenza (click per le formule) è necessario verificare che le coordinate del punto soddisfano l'equazione:

2^2+(-3)^2-4\cdot2 +2\cdot(-3)+1=^?0

Facendo i conti ci accorgiamo che è effettivamente una uguaglianza, quindi il punto P appartiene alla circonferenza. Dobbiamo determinare l'equazione della retta tangente passante per il punto in questione.

Possiamo utilizzare le formule di sdoppiamento. Per applicarle devi effettuare le seguenti sostituzioni nell'equazione della circonferenza:

\\ x^2\longrightarrow x_0x\\ \\ y^2\longrightarrow y_0y\\ \\ x\longrightarrow \frac{x+x_0}{2}\\ \\ y\longrightarrow \frac{y+y_0}{2}

Nel nostro caso x_0=2 mentre y_0= -3

L'equazione della retta tangente è:

2x-3y-4\frac{x+2}{2}+2\frac{y-3}{2}+1=0

Da cui effettuando i conti:

-6-2y=0\iff y+3=0\iff y=-3
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Danni

Re: Retta tangente in un punto della circonferenza #15821

avt
Ifrit
Ambasciatore
@ Galiandro88 ho visto che sei un nuovissimo utente, ti do formalmente il benvenuto nel forum di YouMath emt Ti troverai bene qui emt
Ringraziano: Omega

Re: Retta tangente in un punto della circonferenza #15839

avt
Danni
Sfera
Ciao, se un punto P appartiene ad una curva le coordinate devono verificare l'equazione della curva.
Sostiuisci quindi le coordinate di P nell'equazione della circonferenza come ti ha mostrato Ifrit ed ottieni un'identità. Il punto P appartiene alla circonferenza.
Nel caso di appartenenza è assolutamente raccomandabile l'applicazione della legge che porta alle formule di sdoppiamento. Il metodo è veloce e indolore.
Però non sempre queste formule sono utilizzate nelle Scuole, chissà perché.
Se quindi non le conosci hai due strade: o intersechi l'equazione della circonferenza con l'equazione del fascio di rette di centro P ed imponi nullo il delta della risolvente (condizione di tangenza) oppure imponi congruente al raggio la distanza tra centro e retta ed applichi la formula della distanza di un punto da una retta. Il tuo caso è ancora più semplice a patto che tu parta sempre da un bel disegno chiaro e preciso.
La circonferenza ha centro in C(-a/2;-b/2)
C(2;-1)
La tangente passa per P(2;-3) che ha la stessa ascissa di C ed è perpendicolare al raggio CP
La tangente è allora parallela all'asse x e la sua equazione è data da
y = yP
y = - 3
o, in forma implicita
y + 3 = 0

In bocca al lupo, ciao*
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit

Re: Retta tangente in un punto della circonferenza #15840

avt
Ifrit
Ambasciatore
Hello Danni emt, grazie per aver completato la risposta. Mi chiedo anch'io come mai queste benedette formule di sdoppiamento non vengano insegnate. Molte volte infatti ho proposto questa strada come possibile risoluzione, ma mi hanno sempre fermato perché non sono a conoscenza dell'argomento. Boh, probabilmente non viene insegnato più... emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Danni

Re: Retta tangente in un punto della circonferenza #15843

avt
Danni
Sfera
Ciao Ifrit, è presto detto: buona parte del corpo insegnante si ferma al delta = 0 e arrivederci al prossimo delta = 0
Accade lo stesso per la tangenza di una retta alla parabola in un suo punto: delta = 0 pare una forma paranoica ed invece è semplice pigrizia:angry:
Ai miei ragazzi di Terza ho sempre proposto le formuline apposite anche se ancora non si conosce il calcolo della derivata prima e non ti dico la loro felicità. Tutto ciò che soffre di elefantiasi va snellito, ti pare? Grazie a te, ciao*
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit
  • Pagina:
  • 1
Os