Problemi con richieste di vario tipo sull'ellisse

Potreste aiutarmi con questi due problemi sull'ellisse? Domani ho il compito e non so proprio come fare! Grazie in anticipo

1. Sia A (-9;0) uno dei vertici di un'ellisse passante per il punto P (3, 4 radical 2):
a) determina l'equazione dell'ellisse, gli altri vertici e i fuochi;
b) determina i punti Q₁e Q₂ che distano dal fuoco di ascissa positiva il doppio di quanto distano dall'altro fuoco.


2. Sia P (3; 4 radical 2) un punto dell'ellisse avente eccentricità radical 2/ 3:
a) determina l'equazione dell'ellisse, i vertici e i fuochi;
b) determina le equazioni delle circonferenze C₁ iscritta e C₂ circoscritta all'ellisse, determina inoltre il lato del quadrato circoscritto a C₁ e l'area della regione di piano compresa tra l'ellisse e la circonferenza C₁;
c) determina la tangente all'ellisse nel punto P

Quanto odiavo i compiti messi il giorno dopo una festa...

comunque per la soluzione di quegli esercizi la cosa importante è conoscere l'equazione generica dell'ellisse (di solito basta quella con centro nell'origine e assi paralleli agli assi cartesiani) e le formule per ricavare i fuochi dell'ellisse.

per ora inizio col primo esercizio:





considera l'equazione dell'ellisse:



inizia sostituendo le coordinate del punto A



quindi ricavi subito

poi sostituisci le coordinate di P



e risolvendo rispetto a b trovi

quindi l'equazione è



e le coordinate dei vertici sono immediate da trovare





per trovare i fuochi invece per prima cosa occorre ricavare la misura della distanza focale c



per cui i fuochi sono




adesso rifletto su come risolver il punto b)

Per il secondo problema ho fatto la domanda, mi sono resa conto che non era tanto facile xD
Il primo resta sempre un'enigma!

Finalmente ho trovato un buon metodo per il punto b) ^^

allora ho pensato di fare cosi:

Q sta sull'ellisse per cui



siccome si vuole che



allora



quindi




dunque Q è il punto che dista 6 da F1 e 12 da F2, per cui si puo trovare come l'intersezione di due circonferenze, la prima di centro in F1 e raggio 12 la seconda di centro in F2 e di raggio 6




la loro intersezione è data dal sistema:



risolvere un sistema di due circonferenze è molto piu semplice che risolvere un sistema di secondo grado qualsiasi infatti puoi raccogliere nella prima equazione



e sostituirlo nella seconda che si riduce ad una equazione di primo grado







infine dalla prima ricavi il valore di y







quindi i due punti sono

Grazie mille Potresti vedere se riesci ad aiutarmi anche con il secondo?

per il secondo problema mi sono andato a riguardare com'è definita l'eccentricità dell'ellisse

eccentricità:



sapendo che:



allora l'eccentricità si puo scrivere come



da cui si ricava:





poi allo stesso modo del primo esercizio sostituisci le coordinate del punto P nella generica equazione dell'ellisse



moltiplica tutto per







e di conseguenza ricavi



l'equazione dell'ellisse è (o almeno lo spero visti i numeri strani):



le circonferenze inscritte e circoscritte sono entrambe centrate nell'origine ed la prima ha il raggio che misura come b e la seconda come a, dunque le equazioni sono:





il lato del quadrato è uguale al diametro di C1 quindi



siccome la circonferenza C1 è completamente dentro l'ellisse allora l'area della regione compresa è la differenza tra l'area dell'ellisse e l'area del cerchio

Area ellisse:


Area cerchio C1:


Area regione compresa:


i numeri vengono non proprio bellissimi per cui ricontrolla magari che non ci siano errori di calcolo.

per quanto riguarda la tangente, voi avete fatto la regola dello sdoppiamento?

Purtroppo no..

ahi... allora l'unico modo per trovarla mi sa che è ricorrere al sistema



la prima è l'equazione della circonferenza mentre la seconda è l'equazione del fascio di rette per P

in pratica devi risolvere fare in modo che il sistema abbia una soluzione sola, per farlo per prima cosa metti y in forma esplicita dall'equazione del fascio e sostituiscila nella prima equazione, in questo modo ottieni una equazione di secondo grado in x con m come parametro successivamente calcoli il discriminante e lo poni uguale a 0 ottenendo cosi una equazione questa volta in m da cui ne puoi ricavare i valori.

scusa se non ti metto tutti i calcoli ma sono un po lunghi e laboriosi, prova intanto a provare a svolgerti da sola, se qualcosa non ti viene o non ti torna basta che chiedi.