Problemi con richieste di vario tipo sull'ellisse

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Problemi con richieste di vario tipo sull'ellisse #15766

avt
Panzerotta
Punto
Potreste aiutarmi con questi due problemi sull'ellisse? Domani ho il compito e non so proprio come fare! Grazie in anticipo emt

1. Sia A (-9;0) uno dei vertici di un'ellisse passante per il punto P (3, 4 radical 2):
a) determina l'equazione dell'ellisse, gli altri vertici e i fuochi;
b) determina i punti Q1e Q2 che distano dal fuoco di ascissa positiva il doppio di quanto distano dall'altro fuoco.


2. Sia P (3; 4 radical 2) un punto dell'ellisse avente eccentricità radical 2/ 3:
a) determina l'equazione dell'ellisse, i vertici e i fuochi;
b) determina le equazioni delle circonferenze C1 iscritta e C2 circoscritta all'ellisse, determina inoltre il lato del quadrato circoscritto a C1 e l'area della regione di piano compresa tra l'ellisse e la circonferenza C1;
c) determina la tangente all'ellisse nel punto P
 
 

Problemi con richieste di vario tipo sull'ellisse #15779

avt
kameor
Sfera
Quanto odiavo i compiti messi il giorno dopo una festa... emt

comunque per la soluzione di quegli esercizi la cosa importante è conoscere l'equazione generica dell'ellisse (di solito basta quella con centro nell'origine e assi paralleli agli assi cartesiani) e le formule per ricavare i fuochi dell'ellisse.

per ora inizio col primo esercizio:

 1)

 a)

considera l'equazione dell'ellisse:

 \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

inizia sostituendo le coordinate del punto A

 \frac{81}{a^2} = 1

quindi ricavi subito  a = 9

poi sostituisci le coordinate di P

 \frac{9}{81} + \frac{32}{b^2} = 1

e risolvendo rispetto a b trovi  b = 6

quindi l'equazione è

 \frac{x^2}{81} + \frac{y^2}{36} = 1

e le coordinate dei vertici sono immediate da trovare

 B = (a,\;0) = (9,\;0)
 C = (-b,\;0) = (-6,\;0)
 D = (b,\;0) = (6,\;0)

per trovare i fuochi invece per prima cosa occorre ricavare la misura della distanza focale c

 c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{81 - 36} = 3\sqrt{5}

per cui i fuochi sono

 F_1 = (c,\;0) = (3\sqrt{5},\;0)
 F_2 = (c,\;0) = (-3\sqrt{5},\;0)

adesso rifletto su come risolver il punto b)
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Panzerotta

Re: Problemi con richieste di vario tipo sull'ellisse #15786

avt
Panzerotta
Punto
Per il secondo problema ho fatto la domanda, mi sono resa conto che non era tanto facile xD
Il primo resta sempre un'enigma!

Re: Problemi con richieste di vario tipo sull'ellisse #15787

avt
kameor
Sfera
Finalmente ho trovato un buon metodo per il punto b) ^^

allora ho pensato di fare cosi:

Q sta sull'ellisse per cui

 \bar{QF_1} + \bar{QF_2} = 2a = 18

siccome si vuole che

 \bar{QF_1} = 2\bar{QF_2}

allora

 2\bar{QF_2} + \bar{QF_2} = 3\bar{QF_2} = 18

quindi

\bar{QF_2} = 6
\bar{QF_1} = 12

dunque Q è il punto che dista 6 da F1 e 12 da F2, per cui si puo trovare come l'intersezione di due circonferenze, la prima di centro in F1 e raggio 12 la seconda di centro in F2 e di raggio 6

 x^2 + y^2 - 6\sqrt{5}x - 99 = 0
 x^2 + y^2 + 6\sqrt{5}x + 9 = 0

la loro intersezione è data dal sistema:

\left\{\begin{array}{l} x^2 + y^2 - 6\sqrt{5}x - 99 = 0 \\ x^2 + y^2 + 6\sqrt{5}x + 9 = 0 \end{array}\right.

risolvere un sistema di due circonferenze è molto piu semplice che risolvere un sistema di secondo grado qualsiasi infatti puoi raccogliere nella prima equazione

 x^2 + y^2 = 99 + 6\sqrt{5}x

e sostituirlo nella seconda che si riduce ad una equazione di primo grado

 99 + 6\sqrt{5}x + 6\sqrt{5}x + 9 = 0

 12\sqrt{5}x = -108

 x = -\frac{9\sqrt{5}}{5}

infine dalla prima ricavi il valore di y

 ( -\frac{9\sqrt{5}}{5})^2 + y^2 = 99 + 6\sqrt{5}( -\frac{9\sqrt{5}}{5})

 y^2 + \frac{81}{5}- 45 = 0

 y = \pm \frac{12\sqrt{5}}{5}

quindi i due punti sono

 Q_1 = (-\frac{9\sqrt{5}}{5},\;\frac{12\sqrt{5}}{5})

 Q_2 = (-\frac{9\sqrt{5}}{5},\;-\frac{12\sqrt{5}}{5})
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Panzerotta

Re: Problemi con richieste di vario tipo sull'ellisse #15790

avt
Panzerotta
Punto
Grazie mille emt Potresti vedere se riesci ad aiutarmi anche con il secondo?

Re: Problemi con richieste di vario tipo sull'ellisse #15792

avt
kameor
Sfera
per il secondo problema mi sono andato a riguardare com'è definita l'eccentricità dell'ellisse

eccentricità:

 e = \frac{c}{a}

sapendo che:

 c = \sqrt{a^2 - b^2}

allora l'eccentricità si puo scrivere come

 e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}

da cui si ricava:

 1 - \frac{b^2}{a^2} = \frac{2}{9}

 \frac{b^2}{a^2} = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}

poi allo stesso modo del primo esercizio sostituisci le coordinate del punto P nella generica equazione dell'ellisse

 \frac{9}{a^2} + \frac{32}{b^2} = 1

moltiplica tutto per  b^2

 9 \frac{b^2}{a^2} + 32 = b^2

 9 \frac{7}{9} + 32 = b^2

 b^2 = 39

e di conseguenza ricavi

 a^2 = \frac{9}{7},\; b^2 = \frac{351}{7}

l'equazione dell'ellisse è (o almeno lo spero visti i numeri strani):

 \frac{7}{351} x^2 + \frac{y^2}{39} = 1

le circonferenze inscritte e circoscritte sono entrambe centrate nell'origine ed la prima ha il raggio che misura come b e la seconda come a, dunque le equazioni sono:

 C_1:\; x^2 + y^2 = 39

 C_2:\; x^2 + y^2 = \frac{351}{7}

il lato del quadrato è uguale al diametro di C1 quindi

 l = 2a = \sqrt{39}

siccome la circonferenza C1 è completamente dentro l'ellisse allora l'area della regione compresa è la differenza tra l'area dell'ellisse e l'area del cerchio

Area ellisse:
 A = \pi ab = \pi \sqrt{39 \cdot \frac{351}{7}} = \sqrt{\frac{13689}{7}} \pi

Area cerchio C1:
 A = \pi r^2 = 39 \pi

Area regione compresa:
 A = \sqrt{\frac{13689}{7}} \pi - 39 \pi

i numeri vengono non proprio bellissimi per cui ricontrolla magari che non ci siano errori di calcolo. emt

per quanto riguarda la tangente, voi avete fatto la regola dello sdoppiamento?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Panzerotta

Re: Problemi con richieste di vario tipo sull'ellisse #15793

avt
Panzerotta
Punto
Purtroppo no..

Re: Problemi con richieste di vario tipo sull'ellisse #15796

avt
kameor
Sfera
ahi... allora l'unico modo per trovarla mi sa che è ricorrere al sistema

\left\{\begin{array}{l}\frac{7}{351}x^2 + \frac{y^2}{39} = 1 \\ \\ y -4\sqrt{2} = m(x - 3) \end{array}\right.

la prima è l'equazione della circonferenza mentre la seconda è l'equazione del fascio di rette per P

in pratica devi risolvere fare in modo che il sistema abbia una soluzione sola, per farlo per prima cosa metti y in forma esplicita dall'equazione del fascio e sostituiscila nella prima equazione, in questo modo ottieni una equazione di secondo grado in x con m come parametro successivamente calcoli il discriminante e lo poni uguale a 0 ottenendo cosi una equazione questa volta in m da cui ne puoi ricavare i valori.

scusa se non ti metto tutti i calcoli ma sono un po lunghi e laboriosi, prova intanto a provare a svolgerti da sola, se qualcosa non ti viene o non ti torna basta che chiedi.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Panzerotta
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