Trasformazioni geometriche nel piano cartesiano: rotazione nel piano con centro C

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Trasformazioni geometriche nel piano cartesiano: rotazione nel piano con centro C #15410

avt
ely
Cerchio
Rieccomi di nuovo! Volevo chiedervi aiuto con le rotazioni nel piano per un esercizio di Geometria Analitica. Purtroppo questa sera mi tiene compagnia la matematica....:( voi ne sareste felici al mio posto! emt

Scrivi le equazioni della rotazione R_1 di centro (0;0) e angolo 60^{o} e quelle della rotazione R_2 di centro A(0;1) e angolo 30^{o}.

Verifica se R_1\circ R_2=R_2\circ R_1 e trova gli estremi del segmento corrispondente a BC nelle due rotazioni composte con B(1;1) e C(4;2).

Grazie veramente! emt
 
 

Trasformazioni geometriche nel piano cartesiano: rotazione nel piano con centro C #15436

avt
Omega
Amministratore
Ciao Ely emt Per la risoluzione è fondamentale che tu conosca le formule per le trasformazioni geometriche nel piano.

Per risolvere l'esercizio ci servono le equazioni per una rototraslazione nel piano, con centro C=(a,b) e angolo \theta.

Prima le equazioni di rotazione di centro C, poi un rapidissimo commento, poi l'applicazione delle stesse.

Equazioni di rotazione di centro C e angolo \theta

\left\{\begin{matrix}x=a+(X-a)\cos{(\theta)}-(Y-b)\sin{(\theta)}\\ y=b+(X-a)\sin{(\theta)}+(Y-b)\cos{(\theta)}\end{matrix}

Cosa significano queste due equazioni?

Nell'ordine:

1) Si trasla l'origine degli assi O(0,0) del riferimento cartesiano di partenza nel centro di rotazione C

\left\{\begin{matrix}x=X-a\\ y=Y-b\end{matrix}

2) Si effettua una rotazione di un angolo pari a \theta

\left\{\begin{matrix}x=X\cos{(\theta)}-Y\sin{(\theta)}\\ y=X\sin{(\theta)}+Y\cos{(\theta)}\end{matrix}

[Fin qui abbiamo effettuato una rototraslazione. Dobbiamo riportare il centro degli assi nel centro del riferimento originario.]

3) Si trasla nuovamente il centro del riferimento (ora C) dal punto C al punto O

\left\{\begin{matrix}x=a+X\\ y=Y\end{matrix}

Componendo le tre trasformazioni nell'ordine si ottengono le equazioni introdotte inizialmente.

---

Nel caso dell'esercizio proposto, si tratta a questo punto di sostituire semplicemente i valori delle coordinate del centro e degli angoli nelle precedenti equazioni

R_1

\left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{2}X-\frac{\sqrt{3}}{2}Y\\ y=\frac{\sqrt{3}}{2}X+\frac{1}{2}Y\end{matrix}

R_2

\left\{\begin{matrix}x'=\frac{\sqrt{3}}{2}X'-\frac{1}{2}(Y'-1)\\ y'=1+\frac{1}{2}X'+\frac{\sqrt{3}}{2}(Y'-1)\end{matrix}

Per concludere, l'esercizio richiede di verificare che le due rototraslazioni commutano, il che significa

R_1\circ R_2=R_2\circ R_1

e nella pratica equivale a verificare che sostituendo le espressioni delle equazioni di R_1 nelle equazioni di R_2

x\to X',y\to Y'

si ottengono le stesse equazioni che si determinano sostituendo le equazioni di R_2 in R_1

x'\to X,y'\to Y

il che riduce l'esercizio ad una questione di semplici e attenti conti emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit

Re: Trasformazioni geometriche nel piano cartesiano: rotazione nel piano con centro C #15460

avt
ely
Cerchio
il primo punto l'ho capito...è la rotazione composta che non riesco a capire!!!! :(

Re: Trasformazioni geometriche nel piano cartesiano: rotazione nel piano con centro C #15463

avt
Omega
Amministratore
Devi sostituire le espressioni delle equazioni della prima rotazione nelle variabili che trovi a destra dell'uguale nelle equazioni della seconda rotazione. Questo per determinare

R_2\circ R_1

(la composizione \circ si legge da destra a sinistra: prima si applica la rotazione di destra, poi quella di sinistra).

Per determinare la rotazione

R_1\circ R_2

devi sostituire le espressioni date dalle equazioni della seconda rotazione nelle variabili che compaiono a destra dell'uguale nelle equazioni della prima rotazione. emt

In pratica: come indicato nelle frecce \to del mio precedente post.

Re: Trasformazioni geometriche nel piano cartesiano: rotazione nel piano con centro C #15465

avt
ely
Cerchio
Tutto chiaro grazie! emt
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Os