Esercizio con rette tangenti a una circonferenza e parallelogramma

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Esercizio con rette tangenti a una circonferenza e parallelogramma #15340

avt
Bustedd
Cerchio
Buongiorno youmathiani, ecco un problema sulla circonferenza in cui devo individuare alcune rette tangenti ad essa e dulcis in fundo l'area di un parallelogramma formato da tali rette.

Allora: dato il triangolo di vertici A(-4;3),\ B(-6;-3),\ C(0;-5) determina:

a) l'equazione della circonferenza circoscritta;
b) le equazioni delle tangenti alla circonferenza perpendicolari alla retta di equazione x-2y-9=0
c) l'area del parallelogramma individuato dalle tangenti precedenti e dalle rette di equazione y=3,\ y=-7

Risultati del libro:

{x^{2}}+{y^{2}}+4x+2y-15=0
2x+y+15=0
2x+y-5=0
100

Grazie a tutti dell'aiuto! emt
 
 

Esercizio con rette tangenti a una circonferenza e parallelogramma #15356

avt
kameor
Sfera
Buongiorno anche a te! emt

il problema è un po lungo da scrivere tutto per cui magari per il momento te lo imposto soltanto e se c'è qualcosa che non ti torna sono disposizione.

a)

considera la forma generale dell'equazione della circonferenza (e se hai vuoti di memoria ecco qui le formule della circonferenza)

 x^2 + y^2 + ax + by + c = 0

sostituisci nell'equazione le coordinate di A, B, C e ottieni un sistema di 3 equazioni

\left\{\begin{array}{l}- 4a + 3b + c + 25 = 0 \\ - 6a - 3b + c + 45 = 0 \\ - 5b + c + 25 = 0\end{array}\right.

risolvi il sistema e trovi che la soluzione è

 a = 4, \;b = 2,\;  c = -15

quindi l'equazione della circonferenza è

 x^2 + y^2 + 4x + 2y - 15 = 0

b)

trova il fascio improprio di rette perpendicolari a quella data. Non dimenticare qual è la condizione di perpendicolarità tra due rette nel piano

y = -2x + q

metti a sistema con l'equazione della circonferenza

\left\{\begin{array}{l}y = -2x + q \\ x^2 + y^2 + 4x + 2y - 15 = 0\end{array}\right.

sostituendo y nell'equazione della circonferenza ottieni questa equazione di secondo grado

x^2 + (-2x+q)^2 + 4x + 2(-2x+q) - 15 = 0

5x^2 - 4qx + q^2 + 2q - 15 = 0

affinché la retta sia tangente è necessario che questa equazione abbia una sola soluzione, siccome è una equazione di secondo grado in x allora basta imporre che il discriminante sia uguale a 0 (condizione di tangenza tra retta e circonferenza)

\Delta = - 4(q^2 + 10q - 75) = 0

risolvi rispetto a q e trovi

q = -15,\; q = 5

quindi le due rette sono

 y = -2x - 15
 y = -2x + 5

c)

siccome due lati del parallelogramma stanno su rette parallele all'asse y allora la sua altezza è

 h = 3 - (-7) = 10

poi calcola i punti di intersezione delle due rette tangenti con una delle due rette verticali, ad esempio quella per y = 3

\left\{\begin{array}{l}y = -2x - 15 \\ y = 3\end{array}\right.

trovi il vertice  A = (-9,\; 3)

\left\{\begin{array}{l}y = -2x + 5 \\ y = 3 \end{array}\right.

trovi il vertice  B = (1,\; 3)

la base misura come la distanza AB, quindi

 \bar{AB} = 1 - (-9) = 10

dunque l'area del parallelogramma è

 A = 10 \cdot 10 = 100
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Bustedd

Esercizio con rette tangenti a una circonferenza e parallelogramma #15368

avt
Bustedd
Cerchio
Scusami non mi è chiara una cosa

 5{x^{2}}-4qx +{q^{2}}+2q-15=0

Che sarebbe diviso in

a={5x^{2}}
b=-4qx
c={q^{2}}+2q-15=0

\Delta=-4({q^{2}}+10q-15)

\Delta=0 che sarebbe la condizione di tangenza

Però il discriminante sarebbe \Delta={b^{2}} -4ac

Come mai non ci sono a e b? Domanda stupida ma non ci arrivo lo stesso...

Esercizio con rette tangenti a una circonferenza e parallelogramma #15373

avt
kameor
Sfera
a,b e c non comprendono la x, sarebbero cosi:

\left\{\begin{array}{l} a = 5 \\ b = -4q \\ c = q^2 + 2q - 15 \end{array}\right.

quando calcoli il discriminante ad a, b e c devi sostituire le rispettive espressioni, io avevo saltato un paio di passaggi vedi se cosi ti è più chiaro.

\Delta = b^2 - 4ac = (-4q)^2 - 4 \cdot 5(q^2 + 2q - 15) = -4(q^2 + 10q - 75)

per questa parte del problema non credo serva a molto il disegno, vedi se gli altri punti ti tornano altrimenti vedo di disegnarti qualcosa.
Ringraziano: Omega, Bustedd

Esercizio con rette tangenti a una circonferenza e parallelogramma #15374

avt
Bustedd
Cerchio
Si infatti ora me ne sono accorto. . .

vado in automatico su queste cose e dopo che ci ragionato un attimo l'ho capito!

Grazie comunque della risposta!

EDIT: Finisco il problema e nel caso non riuscissi a fare il disegno, chiederò aiuto.

Comunque il disegno lo ritengo importante soltanto perché il professore da punti in più se fatto bene!

Esercizio con rette tangenti a una circonferenza e parallelogramma #15375

avt
kameor
Sfera
bene, si trattava solo di un errore di calcolo allora emt
Ringraziano: Omega

Esercizio con rette tangenti a una circonferenza e parallelogramma #15378

avt
Bustedd
Cerchio
La mia solita distrazione! emt

Ultima cosa e non chiedo più nulla su questo, lo giuro u.u

La parte dell' altezza mi è poco chiara, il disegno non l'ho fatto del tutto, quindi non ho disegnato sto paralleloramma. . .

Però ho fatto la dist EF( i tuoi A e B) e mi viene 10
l'altezza,come la trovo con i y=3 e y=-7?

Esercizio con rette tangenti a una circonferenza e parallelogramma #15380

avt
kameor
Sfera
L'altezza è semplicemente la distanza tra le rette y = 3 e y = -7, quindi è la differenza delle due coordinate. Per capirlo meglio prova ad immaginare i punti  H = (0,\;3) e  K = (0,\;-7) , che sono l'intersezione delle due rette con l'asse x.

Il segmento HK è perpendicolare ad entrambe le rette quindi anche alle basi del parallelogramma, dunque è la sua altezza

 \overline{HK} = \sqrt{(0 - 0)^2 + (3 - (-7)^2)} = |3 - (-7)| = 10

In pratica quando due punti hanno lo stesso valore di una coordinata la loro distanza si può calcolare facendo la differenza in valore assoluto dei valori dell'altra coordinata.

E' spiegato bene nel formulario sulla distanza tra due punti.
Ringraziano: Omega, Bustedd

Esercizio con rette tangenti a una circonferenza e parallelogramma #15393

avt
Bustedd
Cerchio
Ah non lo sapevo questo!

Grazie ancora kameor! emt
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Os