Esercizio sulla circonferenza, rette tangenti e area di un quadrilatero

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Esercizio sulla circonferenza, rette tangenti e area di un quadrilatero #15157

avt
Bustedd
Cerchio
Buona sera a tutti, eccomi qui con un problema sull'area di un quadrilatero costruito con le rette tangenti ad una circonferenza.

Allora lunedì c'è il compito in classe sulla circonferenza. Però questo geniaccio di professore ce l'ha spiegata 2-3 mesi fa. Questo implica che non mi ricordo quasi niente...Comunque veniamo a noi.

Determina le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione

x^2 + y^2 - 8x - 6y + 20 = 0

rispettivamente nei punti A(5;1),\ B(6;4). Trova le coordinate del punto D di intersezione delle rette trovate e l'area del quadrilatero ADBC, con centro C della circonferenza.

Risultati del libro:

y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2},\ \ \ \ y = -2x + 16,\ \ \ \ D(7;2),\ \ \ \ Area = 5


Allora, da quel poco che mi ricordo ho trovato C(4:3) e r=\sqrt{6}.
Direi poi di imporre l'uguaglianza: distanza punto-retta = r.

Poi: vuoto totale! Mi potreste dare una mano per favore?
 
 

Esercizio sulla circonferenza, rette tangenti e area di un quadrilatero #15160

avt
Bustedd
Cerchio
No. . ahah
Mi sono abituato a trovarle nei sistemi misti. . . non mi ricordo se qui sono la stessa cosa.

EDIT: No, purtroppo no. . .
Se vuoi poi anche dirmi il procedimento e qualche calcolo ma niente di approfondito!

Forse così perdi meno tempo ahah

Esercizio sulla circonferenza, rette tangenti e area di un quadrilatero #15165

avt
Ifrit
Amministratore
Procediamo con il metodo classico:

Costruisci il fascio di rette passanti per il punto A(5,1)

r_A: y-1=m(x-5)\iff y= mx-5m+1

Imposta il sistema con la circonferenza:

\begin{cases}x^2+y^2-8x-6y+20=0\\y= mx-5m+1\end{cases}

Procediamo per sostituzione:

x^2+(mx-5m+1)^2-8x-6(mx-5m+1)+20=0

Espandi i conti

(1+m^2)x^2-2(4+2m+5m^2)x+5(3+4m+5m^2)=0

Calcoliamo il discriminante associato:

\Delta=(-2(4+2m +5m^2))^2-4\cdot 5(3+4m+5m^2)(1+m^2)= (valanga di conti)

= 4-16m+16m^2= 4(1-4m+4m^2)= 4(1-2m)^2

Imponiamo la condizione di tangenza tra retta e circonferenza:

\Delta=0\implies 4(1-2m)^2=0\iff (1-2m)^2=0\iff m=\frac{1}{2}

La retta tangente ha equazione:

y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}+1\iff y= \frac{x}{2}-\frac{3}{2}


Fin qui ti torna tutto? Ti sei ricordato come si fa? Se sì continuiamo emt
Ringraziano: Omega, Bustedd

Esercizio sulla circonferenza, rette tangenti e area di un quadrilatero #15169

avt
Bustedd
Cerchio
Un grazie è d'obbligo!

Allora si, ora mi ricordo qualcosa! Sto già andando avanti col procedimento e farò la stessa cosa con B, quindi puoi anche saltare quella parte!
Ringraziano: Ifrit

Esercizio sulla circonferenza, rette tangenti e area di un quadrilatero #15172

avt
Ifrit
Amministratore
Ok, procedendo allo stesso modo con B otterremo la retta di equazione:

y = -2x + 16

A questo punto per determinare le coordinate del punto D impostiamo il sistema:

\begin{cases}y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\\ y=-2x+16\end{cases}

Per confronto abbiamo che:

\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}= -2x+16

Scrivi l'equazione come:

\frac{x-3+4x-32}{2}=0\iff 5x-35=0\iff x= 7

Quindi il punto D è:

D(7, 2)

Dove il due l'ho trovato sostituendo, in una della due rette, ad x il valore 7.

Tutto chiaro fin qui?
Ringraziano: Omega, Bustedd

Esercizio sulla circonferenza, rette tangenti e area di un quadrilatero #15174

avt
Bustedd
Cerchio
Si, tutto! emt

Precissimo! emt

Esercizio sulla circonferenza, rette tangenti e area di un quadrilatero #15176

avt
Ifrit
Amministratore
Ok procediamo, abbiamo tre dei quattro punti, il quarto C è il centro della circonferenza che ha coordinate:

C\left(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}\right)= \left(4,3\right)

A questo punto calcoliamo pure il raggio emt

r=\sqrt{4^2+3^2-20}= \sqrt{5}

(la formula è r=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2-c})

dove c è il termine noto della circonferenza.

Ora osserva che le rette tangenti sono perpendicolari tra loro (il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1, ci servirà dopo), detto questo calcoliamo le distanze tra i punti:

Poiché sia A che B stanno sulla circonferenza, allora la loro distanza dal centro corrisponde con la lunghezza del raggio:

AC=BC= \sqrt{5}

Inoltre, grazie alla formula per la distanza tra due punti

AD= \sqrt{(7-5)^2+(2-1)^2}=\sqrt{2^2+1}= \sqrt{5}

Infine:

BD=\sqrt{(7-6)^2+(4-2)^2}=\sqrt{5}

Il quadrilatero in questione è un quadrato di lato \ell=\sqrt{5}

di conseguenza:

A=\ell^2=(\sqrt{5})^2= 5

Possiamo asserire che è un quadrato perché ha tutti i lati uguali e le rette tangenti sono perpendicolari tra loro!

Ecco il disegno:

circ
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Bustedd

Esercizio sulla circonferenza, rette tangenti e area di un quadrilatero #15179

avt
Bustedd
Cerchio
Pure il disegno?

Ifrit. . . non dovevi proprio ahah!

EDIT: ti faccio na statua XD
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Os