Equazioni delle rette tangenti a delle circonferenze

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#13884
avt
silvia18
Banned

Ciao ragazzi. Ho 2 problemi da risolvere sulle rette tangenti alla circonferenza nel piano cartesiano. Me li spiegate per favore?

1) Data la circonferenza di equazione x^2+y^2+4x−8 = 0 scrivi le equazioni delle rette ad essa tangenti uscenti dal punto P(2,0).

2) Scrivi l' equazione della circonferenza che ha centro nel punto di intersezione delle rette di equazioni y+x−5 = 0 e x−4y = 0 e passa per il punto di coordinate (6,0). Determina:

a. le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza uscenti dal punto P(4,6);

b. le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza,parallele alla circonferenza di equazione y = −(1)/(2)x+2.

#13889
avt
Ifrit
Amministratore

Ok iniziamo con il primo: abbiamo l'equazione della circonferenza:

x^2+y^2+4x−8 = 0

Costruiamo il fascio di rette passanti per il punto P(2, 0):

r: y = m(x−2)

Impostiamo il sistema:

x^2+y^2+4x−8 = 0 ; y = m(x−2)

Procediamo per sostituzione:

x^2+(m(x−2))^2+4x−8 = 0 ; y = m(x−2)

Facciamo i conti:

x^2+m^2(x^2−4x+4)+4x−8 = 0 ; y = m(x−2)

(1+m^2)x^2−4(m^2−1)x+4(m^2−2) = 0 ; y = m(x−2)

Calcoliamo il discriminante:

Δ = [4(m^2−1)]^2−4·4(1+m^2)(m^2−2) =

= 16(3−m^2)

Imponiamo la condizione di tangenza tra circonferenza e retta:

Δ = 0 ⇔ 16(3−m^2) = 0 ⇔ m^2 = 3 ⇔ m = ±√(3)

Da cui otteniamo i coefficienti angolari delle rette tangenti:

y = √(3)(x−2) ⇒ y = √(3)x−2√(3)

y = −√(3)(x−2) ⇒ y = −√(3)x+2√(3)

Il primo è andato emt

Ringraziano: Pi Greco
#13896
avt
Ifrit
Amministratore

Per il secondo procediamo passo passo:

Scrivi l' equazione della circonferenza che ha centro nel punto di intersezione delle rette di equazioni y+x-5=0 e x-4y=0 e passa per il punto di coordinate (6,0).

In questo caso è necessario trovare l'intersezione tra le due rette, quindi è necessario impostare le due equazioni:

y+x−5 = 0 ; x−4y = 0

isoliamo x dalla seconda equazione:

y+x−5 = 0 ; x = 4y

sostituiamo nella prima:

y+4y−5 = 0 ; x = 4y

5y = 5 ; x = 4y

y = 1 ; x = 4y

Da cui otteniamo che le coordinate del centro sono:

C(4, 1)

Ora conoscendo anche il punto in cui passa la circonferenza possiamo calcolare il raggio con la formula della distanza tra due punti:

r = √((4−6)^2+(1−0)^2) = √(4+1) = √(5)

Ora utilizziamo la formula dell'equazione della circonferenza:

(x−x_C)^2+(y−y_C)^2 = r^2

da cui:

(x−4)^2+(y−1)^2 = 5

Sviluppando i conti:

x^2+y^2−8x−2y+12 = 0

Determina:

a.le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza uscenti dal punto P(4,6)

Abbiamo l'equazione della circonferenza:

Γ: x^2+y^2−8x−2y+12 = 0

costruiamo il fascio di rette passanti per il punto (4, 6):

y−6 = m(x−4) ⇒ y = m(x−4)+6

Impostiamo il sistema:

x^2+y^2−8x−2y+12 = 0 ; y = m(x−4)+6

Sostituiamo nella prima equazione, otterremo:

(1+m^2)x^2−2(4m^2−5m+4)x+4(4m^2−10m+9) = 0

Il discriminante associato è:

Δ = 20(m^2−4)

Impostiamo le condizioni di tangenza:

Δ = 0 ⇔ m^2−4 = 0 ⇔ m = ±2

Quindi le rette tangenti sono:

y = 2(x−4)+6 ⇔ y = 2x−8+6 ⇔ y = 2x−2

y = −2(x−4)+6 ⇔ y = −2x+8+6 ⇔ y = −2x+14

b.le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza,parallele alla circonferenza di equazione y=-1/2x+2

Costruiamo il fascio improprio di rette parallele a quella data:

y = −(1)/(2)x+q

il fascio ovviamente ha lo stesso coefficiente angolare, mentre il termine noto è un parametro da determinare:

x^2+y^2−8x−2y+12 = 0 ; y = −(1)/(2)x+q

Sostituiamo:

x^2+y^2−8x−2y+12 = 0 ; y = −(1)/(2)x+q

Sostituendo otterremo l'equazione risolvente:

(5x^2−4(7+q)x+4(12−2q+q^2))/(4) = 0

Calcoliamo il discriminante:

Δ = (−4(7+q))^2−4·5·4(12−2q+q^2)

Otteniamo l'equazione:

544+264q−4q^2 = 0

Calcoliamo il discriminante:

Δ = 264^2−4(−4)(544) = 78400 ⇒ √(Δ) = 280

A questo punto possiamo calcolare le soluzioni:

q_1 = (−264−280)/(−8) = 68

q_2 = (−264+280)/(−8) = −2

Le due equazioni sono quindi:

y = −(1)/(2)x+68

y = −(1)/(2)x−2

Ringraziano: Omega, Pi Greco
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