Equazioni delle rette tangenti a delle circonferenze

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Equazioni delle rette tangenti a delle circonferenze #13884

avt
silvia18
Banned
Ciao ragazzi. Ho 2 problemi da risolvere sulle rette tangenti alla circonferenza nel piano cartesiano. Me li spiegate per favore?


1) Data la circonferenza di equazione x^2+y^2+4x-8=0 scrivi le equazioni delle rette ad essa tangenti uscenti dal punto P(2,0).


2) Scrivi l' equazione della circonferenza che ha centro nel punto di intersezione delle rette di equazioni y+x-5=0 e x-4y=0 e passa per il punto di coordinate (6,0). Determina:

a. le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza uscenti dal punto P(4,6);
b. le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza,parallele alla circonferenza di equazione y=-\frac{1}{2}x+2.
 
 

Equazioni delle rette tangenti a delle circonferenze #13889

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ok iniziamo con il primo: abbiamo l'equazione della circonferenza:

x^2+y^2+4x-8=0

Costruiamo il fascio di rette passanti per il punto P(2, 0):

r: y= m(x-2)

Impostiamo il sistema:

\begin{cases}x^2+y^2+4x-8=0\\ y=m(x-2)\end{cases}

Procediamo per sostituzione:

\begin{cases}x^2+(m(x-2))^2+4x-8=0\\ y=m(x-2)\end{cases}

Facciamo i conti:

\begin{cases}x^2+m^2(x^2-4x+4)+4x-8=0\\ y=m(x-2)\end{cases}

\begin{cases}(1+m^2)x^2-4(m^2-1)x+4(m^2-2)=0\\ y=m(x-2)\end{cases}

Calcoliamo il discriminante:

\Delta= [4(m^2-1)]^2-4\cdot 4(1+m^2)(m^2-2)=

=16(3-m^2)

Imponiamo la condizione di tangenza tra circonferenza e retta:

\Delta=0\iff 16(3-m^2)=0\iff m^2=3\iff m=\pm \sqrt{3}

Da cui otteniamo i coefficienti angolari delle rette tangenti:

y=\sqrt{3}(x-2)\implies y= \sqrt{3}x-2\sqrt{3}

y= -\sqrt{3}(x-2)\implies y= -\sqrt{3}x+2\sqrt{3}

Il primo è andato emt
Ringraziano: Pi Greco

Re: Equazioni delle rette tangenti a delle circonferenze #13896

avt
Ifrit
Ambasciatore
Per il secondo procediamo passo passo:

Scrivi l' equazione della circonferenza che ha centro nel punto di intersezione delle rette di equazioni y+x-5=0 e x-4y=0 e passa per il punto di coordinate (6,0).

In questo caso è necessario trovare l'intersezione tra le due rette, quindi è necessario impostare le due equazioni:

\begin{cases}y+x-5=0\\ x-4y=0\end{cases}

isoliamo x dalla seconda equazione:

\begin{cases}y+x-5=0\\ x=4y\end{cases}

sostituiamo nella prima:

\begin{cases}y+4y-5=0\\ x=4y\end{cases}

\begin{cases}5y=5\\ x=4y\end{cases}

\begin{cases}y=1\\ x=4y\end{cases}

Da cui otteniamo che le coordinate del centro sono:

C(4, 1)

Ora conoscendo anche il punto in cui passa la circonferenza possiamo calcolare il raggio con la formula della distanza tra due punti:

r= \sqrt{(4-6)^2+(1-0)^2}=\sqrt{4+1}= \sqrt{5}

Ora utilizziamo la formula dell'equazione della circonferenza:

(x-x_C)^2+(y-y_C)^2= r^2

da cui:

(x-4)^2+(y-1)^2= 5

Sviluppando i conti:

x^2+y^2-8x-2y+12=0

Determina:
a.le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza uscenti dal punto P(4,6)


Abbiamo l'equazione della circonferenza:

\Gamma: x^2+y^2-8x-2y+12=0

costruiamo il fascio di rette passanti per il punto (4, 6):

y-6= m(x-4)\implies y= m(x-4)+6

Impostiamo il sistema:

\begin{cases}x^2+y^2-8x-2y+12=0\\ y= m(x-4)+6\end{cases}

Sostituiamo nella prima equazione, otterremo:

(1+m^2)x^2-2(4m^2-5m+4)x+4(4m^2-10m +9)=0

Il discriminante associato è:

\Delta= 20(m^2-4)

Impostiamo le condizioni di tangenza:

\Delta=0\iff m^2-4=0\iff m=\pm 2

Quindi le rette tangenti sono:

y= 2(x-4)+6\iff y= 2x-8+6\iff y= 2x-2

y=-2(x-4)+6\iff y= -2x+8+6\iff y= -2x+14

b.le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza,parallele alla circonferenza di equazione y=-1/2x+2

Costruiamo il fascio improprio di rette parallele a quella data:

y= -\frac{1}{2}x+q

il fascio ovviamente ha lo stesso coefficiente angolare, mentre il termine noto è un parametro da determinare:

\begin{cases}x^2+y^2-8x-2y+12=0\\ y=-\frac{1}{2}x+q\end{cases}

Sostituiamo:

\begin{cases}x^2+y^2-8x-2y+12=0\\ y=-\frac{1}{2}x+q\end{cases}

Sostituendo otterremo l'equazione risolvente:

\frac{5x^2-4(7+q)x+4(12-2q+q^2)}{4}=0

Calcoliamo il discriminante:

\Delta= (-4(7+q))^2-4\cdot 5\cdot 4(12-2q+q^2)

Otteniamo l'equazione:

544+264q-4q^2=0

Calcoliamo il discriminante:

\Delta= 264^2-4(-4)(544)=78400\implies \sqrt{\Delta}= 280

A questo punto possiamo calcolare le soluzioni:

q_1= \frac{-264-280}{-8}=68

q_2= \frac{-264+280}{-8}=-2

Le due equazioni sono quindi:

y= -\frac{1}{2}x+68

y= -\frac{1}{2}x-2
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os