Esercizio su un fascio di parabole

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Esercizio su un fascio di parabole #13414

avt
silvia18
Banned
Ciao ragazzi, ho 2 problemi da risolvere, di cui il primo riguarda i fasci di parabole. Spero che mi possiate aiutare!

Dato il fascio di parabole di equazione y=(k+2)x^2+4kx+3(k-1)determina il tipo, successivamente individua:

a.quella passante per P(1,-2);
b.quella il cui vertice ha ascissa 0;
c.quella tangente alla retta di equazione y=-x+3.

[Mod] Rimosso. [/Mod]
 
 

Esercizio su un fascio di parabole #13418

avt
silvia18
Banned
ecco mi e venuto esercizio 1.b. mi serve solo 1a.

Re: Esercizio su un fascio di parabole #13423

avt
Omega
Amministratore
Ciao Silvia18 emt

per le prossime discussioni che apri che ne dici di scegliere titoli un po' più specifici? emt (Ne hai aperte una decina con titolo: "la circonferenza") Qui l'ho modificato io...

Qui abbiamo a che fare con un fascio di parabole, la cui equazione è

y=(k+2)x^2+4kx+3(k-1)

prendendo due valori di k, ad esempio k=0,k=1 e mettendo le equazioni delle corrispondenti parabole a sistema

y=2x^2-3

y=3x^2+4x

otteniamo l'equazione 2x^2-3=3x^2+4x, ossia

x^2+4x+3=0

che ha soluzioni x=-1,x=-3, cui corrispondono le ordinate y=-1,y=15. Il fascio di parabole ha dunque due punti base

(-1,-1),(-3,15)

comuni a tutte le parabole del fascio.

Per individuare la parabola passante per il punto P=(1,-2), si sostituiscono ascissa e ordinata del punto P nell'equazione del fascio:

y=(k+2)x^2+4kx+3(k-1)

-2=(k+2)+4k+3(k-1)

facendo un paio di conticini, si trova k=-\frac{1}{8}, quindi la parabola cercata è

y=\frac{15}{8}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{27}{8}

Per trovare la parabola avente di ascissa x=0, dobbiamo calcolare l'ascissa generica del vertice

x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{4k}{2(k+2)}

e imporre che sia uguale a 0, per cui si trova

-\frac{4k}{2(k+2)}=0\to k=0

e quindi la parabola è data da

y=2x^2-3

Infine, per individuare la parabola tangente alla retta di equazione y=-x+3 bisogna mettere a sistema equazione del fascio ed equazione della retta

y=(k+2)x^2+4kx+3(k-1)

y=-x+3

e richiedere che il discriminante (Delta) dell'equazione di secondo grado che ne risulta sia pari a zero. Il discriminante dipenderà da k, quindi la condizione

\Delta(k)=0

sarà nient'altro che un'equazione in k, la cui soluzione determina la parabola cercata nel fascio.

(k+2)x^2+4kx+3(k-1)=-x+3

(k+2)x^2+4kx+x+3(k-1)-3=0

(k+2)x^2+(4k+1)x+3(k-2)=0

Calcoliamo il discriminante, e poniamolo uguale a zero:

(4k+1)^2-4(k+2)(3k-6)=0

16k^2+8k+1+(-4k-8 )(3k-6)=0

16k^2+8k+1-12k^2+24k-24k+48=0

4k^2+8k+49=0

Questa equazione ha determinante minore di zero, per cui è impossibile, e se ne ricava che la parabola cercata non esiste.

Ricontrolla i conti emt
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, Ifrit

Re: Esercizio su un fascio di parabole #13425

avt
Ifrit
Amministratore
Abbiamo il fascio di parabole

\Gamma:y= (k+2)x^2+4k x+3(k-1)

1. Per determinare la parabola passante per il punto P(1, -2), imponiamo nel punto P:

-2=(k+2)\cdot 1^2+4k\cdot 1+3(k-1)

-2=k+2+4k+3k-3

-2= 8k-1

Da cui

8k= -1\implies k= -\frac{1}{8}

Sostituisci il parametro k e otterrai:

y=\frac{15x^2-4x-27}{8}

___________________

L'ascissa del vertice di \Gamma è:

x_V= -\frac{4k}{k+2}\qquad k\ne -2

Essa è zero se e solo se:


 -\frac{4k}{k+2}=0\iff 4k=0\iff k=0

L'equazione della parabola è:

y= 2x^2-3

_____________________

Determiniamo l'equazione della parabola tangente alla retta y=-x+3

Impostiamo il sistema:

\begin{cases}y= (k+2)x^2+4k x+3(k-1)\\y=-x+3\end{cases}

Otterremo l'equazione risolvente:

(k+2)x^2+4k x+3(k-1)= -x+3

Sviluppando i conti otterremo:

(2+k)x^2+(1+4k)x+3k-5=0

Calcoliamo il discriminante associato:

\Delta=(1+4k)^2-4(2+k)(-5+3k)=4k^2+4k+41

Imponiamo la condizione di Tangenza:

\Delta=0\iff 4k^2+4k+41=0

Risolviamo l'equazione in k:

\Delta= 16-4\cdot 4\cdot 41<0

Non abbiamo soluzioni reali, questo vuol dire che non esiste alcuna parabola del fascio, tangente alla retta data emt

Se ci sono problemi fammelo sapere emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar
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Os