Due esercizi su circonferenza e rette tangenti

Ciao ragazzi in questi due problemi devo trovare la retta di un fascio tangente a una circonferenza e parallela ad una bisettrice, mentre nel secondo devo trovare la circonferenza tangente a una retta in un punto.


1) Determina nel fascio di rette parallele alla bisettrice del secondo e quarto quadrante, le rette tangenti alla circonferenza di equazione .

Risultato del libro:


2) Scrivi l'equazione della circonferenza con centro in e tangente alla retta .

Risultato: .

Ciao Silvia, iniziamo subito col primo esercizio.

Scriviamo l'equazione della bisettrice del secondo e del quarto quadrante:



tutte le rette parallele alla bisettrice avranno equazione:



questo è detto fascio di rette improprio, quello che ci rimane da determinare è q, il termine noto.

Per farlo utilizzeremo la condizione di tangenza, impostando il sistema tra il fascio di rette improprio e la circonferenza:



Procedendo per sostituzione avremo:



Usiamo la regola per il quadrato di un binomio



Sommiamo i termini simili:



Ora determiniamo il discriminante e imponiamo che sia uguale a zero (questa è la condizione di tangenza retta-circonferenza)



Svolgendo i conti otterremo l'equazione in q:



troviamo le soluzioni:



Quindi:





mentre



Le due rette hanno equazioni:



e il primo esercizio è andato.

Abbiamo l'equazione della circonferenza generica:



Dove:

sono le coordinate del centro (che abbiamo dai dati del problema). In particolare:



Quello di cui necessitiamo è il raggio r. Per determinarlo calcoliamo la distanza tra la retta e il centro. Usiamo naturalmente la formula per la distanza di un punto da una retta




Benissimo, abbiamo tutti gli ingredienti per utilizzare la formula:



sviluppiamo i quadrati:



scrivendo in forma canonica:



Finito!