Equazione della circonferenza conoscendo gli estremi di un diametro

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Equazione della circonferenza conoscendo gli estremi di un diametro #12792

avt
silvia18
Banned
Salve a tutti! Ho due problemi sull'equazione della circonferenza: nel primo devo trovare la circonferenza avendo gli estremi di un diametro, nel secondo devo scrivere l'equazione avendo centro e raggio.

1) Scrivi l'equazione della circonferenza che ha per diametro il segmento di estremi (-2,4) e (0,2).

2) Scrivi l'equazione della circonferenza avente centro C(2,2) e raggio r=1/2.
 
 

Equazione della circonferenza conoscendo gli estremi di un diametro #12822

avt
frank094
Maestro
Ciao Silvia18,

il problema ci dice che il diametro ha come estremi quei due punti perciò si può facilmente trovare il raggio della circonferenza dimezzando la distanza tra tali due punti.

r = \frac{\overline{AB}}{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}

Adesso, conoscendo il raggio e il centro ( che hai già trovato come punto medio della circonferenza ), si può procedere con il trovare l'equazione della circonferenza ricordando che può essere generalmente espressa dalla formula

\gamma: (x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = r^2

dove (x_c, y_c) sono le coordinate del centro. Sostituendo i dati a noi noti si ottiene facilmente che

\gamma: (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 2

Volendo si può sviluppare l'equazione fino a ridurla a

\gamma: x^2 + y^2 + 2x - 6y + 8 = 0

b. Qui già conosciamo le coordinate del centro e la lunghezza del raggio perciò si può direttamente sostituire nella formula sopra:

\gamma_2: (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = \frac{1}{4}

Che sviluppando si può scrivere come

\gamma_2: x^2 + y^2 - 4x - 4y + \frac{31}{4} = 0

E' tutto chiaro? Ti lascio il link per le formule della circonferenza, che tornano sempre utili in questo tipo di esercizi. emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, Ifrit

Equazione della circonferenza conoscendo gli estremi di un diametro #12843

avt
silvia18
Banned
mi puoi dire come hai calcolato la distanza AB?

Equazione della circonferenza conoscendo gli estremi di un diametro #12862

avt
frank094
Maestro
a. La distanza fra due punti A=(x_a, y_a) e B = (x_b, y_b) è definita dalla formula

d(A, B) = \sqrt{ (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 }

Sostituendo le coordinate dei nostri punti, si ha che

d(A, B) = \sqrt{ (0 + 2)^2 + (2 - 4)^2 } = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = 2 \sqrt{2}

Ed ecco fatto emt !

b. Il risultato coincide con quello da noi trovato; semplicemente, per eliminare il denominatore del termine, è stato moltiplicato tutto per 4:

\gamma_2: 4 \cdot \left( x^2 + y^2 - 4x - 4y + \frac{31}{4} \right) = 0

Si ottiene

\gamma_2: 4x^2 + 4y^2 - 16x - 16y + 31 = 0
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit
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