Due problemi sulla circonferenza

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Due problemi sulla circonferenza #12629

avt
silvia18
Banned
Ciao a tutti. Ho due problemi da risolvere sull'equazione della circonferenza e mi servirebbe una mano per capire come fare. Potete aiutarmi?

1) Determina l'equazione della circonferenza che ha come diametro il segmento di estremi (-3,1) e (3,0) .Stabilisci poi se i seguenti punti le appartengono (1,0) e (-3,7).

Soluzione: x^2+y^2-y-9=0.

2) Scrivi l'equazione della circonferenza che ha centro sull'asse delle scisse e passa per l'origine degli assi e per il punto A(4,1).

Soluzione: 4x^2+4y^2-14x=0
 
 

Due problemi sulla circonferenza #12635

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Silvia18, iniziamo con l'esercizio a. Nel frattempo ti lascio il link per il formulario sulla circonferenza.

Sappiamo che i punti A(-3,1),\ B(3, 0) sono gli estremi del diametro, la distanza tra questi due punti sarà la lunghezza del diametro, dividendolo per due avremo il raggio:

d=\sqrt{(-3-3)^2+(1-0)^2}= \sqrt{(-6)^2+1}=\sqrt{37}

Dunque il raggio è:

r= \frac{d}{2}= \frac{\sqrt{37}}{2}

Elevando al quadrato membro a membro:

r^2= \frac{37}{4}

Ora il punto medio tra A e B sarà il centro della circonferenza:

C\left(\frac{-3+3}{2}, \frac{1+0}{2}\right)= (0, 1/2)

Abbiamo tutti gli ingredienti per determinare l'equazione della circonferenza emt

(x-x_C)^2+(y-y_C)^2= r^2

(x-0)^2+(y-1/2)^2= \frac{37}{4}

Facciamo i conti:

x^2+y^2+\frac{1}{4}-y- \frac{37}{4}=0

x^2+y^2-y-9=0

Vediamo se i punti D(1,0) e E(-3, 7) appartengono alla circonferenza:

D\in x^2+y^2-y-9=0\iff 1-9=0
Il punto D non rispetta l'equazione quindi non appartiene alla circonferenza:

E\in x^2+y^2-y-9=0\iff 9+49-7-9=0

Ora 9+49-7-7 è diverso da zero quindi i punti non appartengono alla circonferenza emt

Il primo è andato

Ci sono domande? emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Due problemi sulla circonferenza #12638

avt
Ifrit
Ambasciatore
In questo caso sappiamo che le coordinate del centro sono della forma:

C(x_0, 0)

Inoltre sappiamo che la circonferenza passa per i punti O(0, 0) e per il punto A(4, 1)


Ricordiamo che l'equazione della circonferenza è:

(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2

Sostituendo le coordinate del centro:

(x-x_0)^2+(y-0)^2= r^2

Sviluppando i conti:

x^2+x_0^2-2x_0x+y^2-r^2=0

Poiché la circonferenza passa per l'origine allora imponendo la condizione di appartenenza si ha che:

x_0^2-r^2=0\implies x_0^2= r^2

Imponiamo il passaggio per A(4, 1):

4^2+x_0^2-2x_0\cdot 4+1-r^2=0

x_0^2-8x_0+17-r^2=0

Possiamo quindi costruire il sistema:

\begin{cases}x_0^2=r^2\\ x_0^2-8x_0+17-r^2=0\end{cases}

Procediamo per sostituzione, otterremo l'equazione risolvente:

x_0^2-8x_0+17-x_0^2=0\implies -8x_0+17=0

Risolvendo l'equazione:

x_0= \frac{-17}{-8}= \frac{17}{8}

Sostituiamo nella prima equazione, otterremo:

r^2= \frac{17^2}{8^2}

Quindi l'equazione della circonferenza è:

\left(x-\frac{17}{8}\right)^2+(y-0)^2= \frac{17^2}{8^2}

Sviluppando i conti:

x^2+\frac{17^2}{8^2}-\frac{17}{4}x+y^2= \frac{17^2}{8^2}

Sommando i termini simili:


x^2-\frac{17}{4}x+y^2= 0

Minimo comune multiplo:


\frac{4x^2-17x+4y^2}{4}= 0

moltiplicando membro a membro per 4


4x^2-17x+4y^2= 0


che è l'equazione della circonferenza. La risoluzione che proponi è certamente errata. emt
Ringraziano: Pi Greco
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Os