Problema sulle circonferenze e area di un quadrilatero

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Problema sulle circonferenze e area di un quadrilatero #12487

avt
Dave
Punto
Salve a tutto il Forum, ho risolto parte di un problema riguardante la circonferenza e sono bloccato sul resto. Incomincio a scrivere il testo dell'esercizio:

considera i punti A(-2;2) e B(1;4), la retta r di equazione x-2y-3=0 e un generico punto C su r.

a) Determina il luogo dei centri delle circonferenze passanti per A e B. (RISOLTO)

b) Trova la posizione di C per cui BC è diametro e indica con C1 tale punto.

c) Trova la posizione di C per cui AC è diametro e indica con C2 tale punto.

d) Calcola l'area del quadrilatero AC1C2B.

Premettendo che ho risolto il punto a) facendo

(x+2)2+(y-2)2=(x+1)2+(y-4)2

e l'asse centrale è 6x+4y-9=0, non riesco a capire cosa chiedano esattamente i punti b e c e cosa bisogna fare.

Preferirei una spiegazione del problema e non una soluzione completa di calcoli algebrici visto che a momenti farò il compito e i calcoli algebrici non sono il mio forte e mi vorrei esercitare per bene. Grazie in anticipo.
 
 

Problema sulle circonferenze e area di un quadrilatero #12522

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Dave, il primo punto è corretto! emt

Per quanto riguarda il secondo punto determina la retta s passante per il punto B e perpendicolare a r:x-2y-3=0. Il punto di intersezione tra s e r sarà il punto C_1 perché la circonferenza ha per diametro BC e la retta che contiene il diametro (e quindi il raggio) è perpendicolare alla retta tangente r. Procedendo allo stesso modo puoi tranquillamente determinare il punto C_2. La figura che ne scaturirà è un trapezio rettangolo, puoi calcolare l'area, determinando le distanze che tra i punti che ti serviranno.

Data la retta r: x-2y-3=0, il suo coefficiente angolare è m_r= -\frac{1}{-2}= \frac{1}{2}. il fascio di rette passanti per B ha equazione:

s: y-4=m_s(x-1)

Poiché r e s devono essere perpendicolari allora il prodotto dei loro coefficienti angolari è uguale a -1:

m_r\cdot m_s=-1\implies \frac{1}{2} m_s=-1\implies m_s= -2

Quindi la retta s ha equazione:

s: y= -2(x-1)+4\implies y=-2x+6

Troviamo il punto di intersezione tra r e s:

\begin{cases}y=-2x+6\\x-2y-3=0 \end{cases}

Per sostituzione otterrai:

x-2(-2x+6)-3=0\iff x+4x-12-3=0\implies 5x= 15

Da cui x= 3\implies y= 0

Il punto cercato è C_1(3, 0)

Per determinare C_2 facciamo lo stesso ragionamento, costruiamo il fascio di rette passante per il punto A

t:y-2= m_t(x+2)\implies y= m_t (x+2)+2

Imponendo che la retta t sia perpendicolare ad r, riusciamo a determinare il coefficiente angolare della retta t:

m_t= -2

Quindi:

t: y= -2(x+2)+2\implies y= -2x-2

Determina il punto di intersezione tra la retta r e la retta s:

\begin{cases}y=-2x-2\\x-2y-3=0\end{cases}

Risolvendolo per sostituzione:

x-2(-2x-2)-3=0\implies x+4x+4-3=0\implies 5x=-1

Da cui

x= -\frac{1}{5}\implies y= -\frac{8}{5}

Il punto C_2\left(-\frac{1}{5}, -\frac{8}{5}\right)

Se disegni i punti e li unisci otterrai un trapezio rettangolo con base maggiore è BC_1 e base minore AC_2 e altezza C_1 C_2.

Con la formula della distanza tra due punti possiamo calcolare i segmenti:

BC_1=\sqrt{(1-3)^2+(4-0)^2}= \sqrt{4+16}= 2\sqrt{5}

AC_2=\sqrt{\left(-2+\frac{1}{5}\right)^2+\left(2+\frac{8}{5}\right)^2}= 9\frac{\sqrt{5}}{5}

L'altezza del trapezio è:

C_1C_2= \sqrt{\left(3-\frac{-1}{5}\right)^2+\left(0+\frac{8}{5}\right)^2}= \frac{8\sqrt{5}}{5}

L'area è quindi:

A= \frac{(AC_2+BC_1) C_1 C_2}{2}=\frac{\left(2\sqrt{5}+9\frac{\sqrt{5}}{5} \right)\cdot \frac{8\sqrt{5}}{5}}{2}=\frac{152}{10}= 15.2
Ringraziano: Omega, Pi Greco, frank094
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Os