Come capire se un'equazione individua una circonferenza

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Come capire se un'equazione individua una circonferenza #12481

avt
silvia18
Banned
Ciao ragazzi! Ho un problema da risolvere: devo stabilire se delle equazioni definiscono delle circonferenze o no, vedendo solamente l'equazione. Lo ricopio sperando in un vostro aiuto.

Esercizio e della circonferenza.

A1. Stabilisci quali delle seguenti equazioni rappresentano una circonferenza motivando la risposta:

3x^2+y^2+3x-2y+4=0

x^2+y^2-2x+y-3=0

x^2-y^2+x-y-5=0

B2. Considera il luogo dei punti associato all'equazione (x-1)^2+(y+2)^2=16
senza svolgere ulteriori calcoli sull'equazione, sai individuare le caratteristiche?
 
 

Come capire se un'equazione individua una circonferenza #12482

avt
Omega
Amministratore
Ciao Silvia18 emt intanto comincio dai fondamentali e ti lascio il link per il formulario completo sulla circonferenza.

Per quanto riguarda il primo esercizio, la condizione cui dobbiamo fare riferimento è il fatto che i termini di grado 2, cioè x^2,y^2 devono avere coefficiente 1 per far sì che l'equazione rappresenti una circonferenza, e inoltre devono avere segno concorde.
Al massimo, possiamo avere due termini quadratici moltiplicati per un numero diverso da 1 a patto che il coefficiente sia lo stesso: qualcosa della forma cx^2+cy^2. Ciò è consentito perché, raccogliendo c e dividendo tutta l'equazione per c, si passa alla forma canonica dell'equazione della circonferenza.

In questo esercizio la precedente condizione è soddisfatta solamente dall'equazione b.

x^2+y^2-2x+y-3=0

In generale, c'è un ulteriore controllo che va effettuato: riducendo l'equazione assegnata ad un'equazione della forma

(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2\mbox{ }\bullet

dobbiamo assicurarci, dopo aver completato i quadrati, che il termine a destra dell'uguale sia positivo (dovendo essere il quadrato di un numero!).

Se completiamo i quadrati nella precedente equazione, in riferimento ai doppi prodotti

x^2-2x+1+y^2+y+\frac{1}{4}-1-\frac{1}{4}-3=0

(x-1)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{17}{4}

si vede che abbiamo una circonferenza di raggio r=\frac{\sqrt{17}}{2} e centro \left(1,-\frac{1}{2}\right).

Nel caso dell'esercizio b2., invece, abbiamo già l'equazione di una circonferenza scritta nella forma \bullet

(x-1)^2+(y+2)^2=16

per cui si vede subito che tale circonferenza ha centro (1,-2) e raggio r=4. emt
Ringraziano: Pi Greco
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