Esercizio sull'iperbole con vari punti: rette, circonferenze, trapezi

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Esercizio sull'iperbole con vari punti: rette, circonferenze, trapezi #12064

avt
dav09
Punto
Qualcuno riesce ad aiutarmi con un esercizio di riepilogo sull'iperbole? Ci sono varie richieste e ho provato a risolverlo ma è troppo complicato, non so nemmeno da dove cominciare...

Dopo aver scritto l’equazione dell’iperbole equilatera con fuochi nei punti F_1(4\sqrt{2};0),\ F_2(-4\sqrt{2};0) e centro nell’origine:

a) verifica che la retta di equazione 5x-3y-16=0 è tangente all'iperbole e determina il punto A di contatto;
b) verifica che la distanza di A dal centro dell’iperbole è media proporzionale tra la distanza di A dai fuochi;
c) scrivi l’equazione della circonferenza passante per A e per i fuochi e determina le ulteriori intersezioni B, C, D tra la circonferenza e l’iperbole;
d) calcola l’area del trapezio ABCD.

Le soluzioni del libro sono: iperbole x^2-y^2=16; area ABCD \frac{17}{9}(15+4\sqrt{13}); A(5;3); circonferenza x^2+y^2-\frac{2}{3}y=32.
 
 

Esercizio sull'iperbole con vari punti: rette, circonferenze, trapezi #12076

avt
Ifrit
Amministratore
Iniziamo con lo scrivere l'equazione dell'iperbole equilatera riferita agli assi in forma canonica:

x^2-y^2=a^2

I fuochi sono dati dalla espressione:

F_{1,2}\left(\pm \sqrt{2}a, 0\right)

Da ciò segue che:

\sqrt{2}a= 4\sqrt{2}\iff a=4\implies a^2=16

L'equazione dell'iperbole è:

x^2-y^2= 16

a) Sia r: 5x-3y-16=0

impostiamo il sistema:

\begin{cases} x^2-y^2= 16\\ 5x-3y-16=0\end{cases}

Isoliamo y dalla seconda equazione:

\begin{cases} x^2-y^2= 16\\ y= \frac{1}{3}(5x-16)\end{cases}

Sostituendo nella prima equazione:

\begin{cases} x^2-\left(\frac{1}{3}(5x-16)\right)^2= 16\\ y= \frac{1}{3}(5x-16)\end{cases}

Facendo i conti la prima equazione diventa

\begin{cases} -\frac{16}{9}(x^2-10x+25)=0\\ y= \frac{1}{3}(5x-16)\end{cases}

Consideriamo la prima equazione:

-\frac{16}{9}(x^2-10x+25)=0

Il discriminante associato è:

\Delta= 100- 100=0\implies \sqrt{\Delta}= 0

Questo dimostra che la retta è tangente alla iperbole.

Troviamo la soluzione dell'equazione

-\frac{16}{9}(x^2-10x+25)=0

essa rappresenta l'ascissa del punto di contatto.

x_A= -\frac{b}{2a}=-\frac{-10}{2}=5

Per determinare l'ordinata, sostituiamo nella seconda equazione del sistema:

y_A= \frac{1}{3}(5\cdot 5- 16)= 3

Il punto di contatto è quindi:

A\left(5,3\right)


b) Dobbiamo mostrare che:

AF_1: AO=AO: AF_2

o equivalentemente:

AO^2= AF_1\cdot AF_2

Calcoliamo le distanze tra le coppie di punti in gioco:

AF_1= \sqrt{(-4\sqrt{2}-5)^2+ 3^2}=4+5\sqrt{2}

AF_2= \sqrt{(4\sqrt{2}-5)^2+3^2}=-4+5\sqrt{2}

AO= \sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}

Ora

AF_1\cdot AF_2=(4+5\sqrt{2})(-4+5\sqrt{2})= 34

mentre:

AO^2= 34

Questo dimostra che:

AO^2= AF_1\cdot AF_2

c) Per scrivere l'equazione della circonferenza passante per i fuochi e per il punto di contatto utilizzeremo la condizione di appartenenza:

Sia

\Gamma: x^2+ y^2+a x+ by+ c=0

l'equazione generica della circonferenza.

A\in\Gamma\iff  5a+3b+c+34=0

F_1\in\Gamma\iff -4\sqrt{2}a+c+32=0

F_2\in\Gamma \iff 4\sqrt{2}a+c+32=0

Possiamo costruire il sistema

\begin{cases}5a+3b+c+34=0\\ -4\sqrt{2}a+c+32=0\\ 4\sqrt{2}a+c+32=0\end{cases}

Il sistema ha soluzione:

a= 0, b=-\frac{2}{3}, c=-32

Quindi l'equazione della circonferenza è:

\Gamma: x^2+y^2-\frac{2}{3}y-32=0


d) Calcoliamo i punti di intersezione tra parabola e iperbole:

\begin{cases}x^2+y^2-\frac{2}{3}y=32\\x^2- y^2= 16\end{cases}

Sottraendo membro a membro la prima equazione con la seconda otteniamo:

2y^2-\frac{2}{3}y=16

Risolvendo questa equazione otterrai le soluzioni:

y_1=3\vee y_2=-\frac{8}{3}

Sostituendo y1 nella seconda equazione del sistema abbiamo:

x^2-9= 16\iff x=\pm 5

I primi due punti di intersezione sono:

A=(5, 3)

B=(-5, 3)

Sostituendo y2 nella seconda equazione otteniamo:

x^2- \frac{64}{9}=16\iff x=\pm \frac{4\sqrt{13}}{3}

Gli altri due punti sono:

C=\left(\frac{4\sqrt{13}}{3}, -\frac{8}{3}\right)

D=\left(-\frac{4\sqrt{13}}{3}, -\frac{8}{3}\right)

Calcoliamo la base maggiore:

AB=10

DC=\frac{8\sqrt{13}}{3}

L'unica cosa che ci manca è l'altezza

h=|y_A- y_C|=3+\frac{8}{3}= \frac{17}{3}

Possiamo calcolare l'area del trapezio

A=\frac{(B+b )h}{2}=\frac{1}{2}(10+\frac{8\sqrt{13}}{3})\frac{17}{3}=\frac{17}{9}(15+4\sqrt{13})

iperbole
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os