Trovare alcune parabole in un fascio di parabole

Ciao ragazzi, ho un problema sui fasci di parabole da risolvere, e non ci riesco perché mi vengono dei risultati strani. Spero che mi aiutiate a farlo bene

Dato il fascio di parabole di equazione y=(k-1)x^2+(k+2)x+3k, determina:

a. le coordinate dei punti base;
b. la parabola del fascio con asse coincidente con l'asse y;
c. la parabola del fascio passante per l'origine;
d. la parabola del fascio passante per P(-1,3);
e. le parabole del fascio aventi direttrice di equazione y=7/4.

Risposte:

a. non ci sono punti base
b. y=-3x^2-6
c. y=-x^2+2x
d. y=x^2^+4x+6
e. y=x^2^+4x+6; y=-10/11x^2+23/11x+3/11.

Grazie!

Ciao silvia18, la prima cosa che dobbiamo fare è determinare la parabola degenere (retta) imponendo che il coefficiente direttore (il coefficiente di x^2) sia uguale a zero:



Sostituendo il k ottenuto nel fascio otteniamo la parabola degenere del fascio che ha equazione:



Intersechiamo ora il fascio con la retta:



Procediamo per sostituzione:



Ordinando i termini otteniamo:



Per possiamo mettere in evidenza totale otteniamo:



Troviamo le soluzioni dell'equazione di secondo grado:

il cui discriminante è:



L'equazione non ammette soluzioni quindi non ci sono punti base.

b. Se l'asse della parabola (click per le formule) coincide con Y allora ha equazione:



Sostituiamo k=2 nel fascio:



c.Per determinare la parabola passante per l'origine imponiamo il passaggio del fascio nel punto O(0,0):



Andiamo a sostituire k:



d. Dobbiamo imporre la condizione di appartenenza:



Da cui otteniamo l'equazione:



Sostituiamo il k:





e. Sappiamo che la retta direttrice è:



Ora il discriminante associato alla equazione è:



Di conseguenza:



è l'asse del fascio di parabole al variare di k, con k diverso da -1.

Imponiamo che sia uguale a 7/4, otterremo l'equazione razionale fratta:



Da cui otteniamo l'equazione risolvente:



Portiamo tutto al primo membro, facciamo un po' di conti



Risolvendo l'equazione in k otterremo:



Sostituendo questo valore nel fascio otterremo la prima equazione della parabola:





L'altra soluzione della equazione è:



sostituendo nel fascio otterremo:





E questo conclude l'esercizio

grazie mille!posso aggiungere un altro esercizio?

sarebbe meglio che tu aprissi una nuova discussione

ok grazie!