Esercizio su circonferenza tangente ad una retta

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Esercizio su circonferenza tangente ad una retta #11494

avt
titti
Punto
Ciao ho qualche difficoltà con questo esercizio sulla circonferenza tangente ad una retta, che non riesco a risolvere...

Trova l'equazione della circonferenza tangente nell'origine alla bisettrice del secondo e quarto quadrante e con il centro sulla retta di equazione r: y = 5x - 8. Considera poi i due triangoli equilateri OAB e OAC aventi un lato sul diametro OA della circonferenza. Trova le coordinate dei vertici B e C (con Xb minore Xc), il perimetro e l'area del quadrilatero OCAB.
 
 

Esercizio su circonferenza tangente ad una retta #11496

avt
frank094
Maestro
Ciao Titti, vediamo come risolvere questo bel problemino sulla circonferenza. Cliccando sul link passi direttamente al formulario. emt

le prime tre righe del quesito ci danno implicitamente le tre condizioni necessarie per determinare l'equazione della circonferenza \gamma.

1° Condizione: Sappiamo che la circonferenza passa per l'origine O;

2° Condizione: La distanza tra il centro, che si trova sulla retta r, ed il punto O è pari al raggio;

3° Condizione: La distanza tra il centro della circonferenza, che si trova sulla retta r, e la bisettrice del secondo e quarto quadrante è pari al raggio.


Dalle ultime due condizioni ci possiamo ricavare prima il centro e poi il raggio della circonferenza; la prima è invece non necessaria perché insita nelle altre due.
Le coordinate del centro della circonferenza possiamo ricavarcele in funzione di un parametro x = t.. si ha quindi

C = \left(t, 5t - 8 \right)

Adesso troviamo la distanza tra questo punto ed il centro della circonferenza. Usiamo la formula per la distanza tra due punti.

d \left( O, C \right) = \sqrt{t^2 + (5t - 8 )^2}

e la distanza tra il centro della circonferenza e la bisettrice del secondo e quarto quadrante s: y + x = 0, questa volta con la formula per la distanza di un punto da una retta

d \left( s, C \right) = \frac{|t + 5t - 8|}{\sqrt{2}}

Siccome entrambe le distanze sono pari al raggio, imponiamo l'uguaglianza e ricaviamo il parametro t.

\sqrt{2} \sqrt{t^2 + (5t - 8 )^2} = |t + 5t - 8|

Poiché sono entrambe quantità positive, eleviamole tutte e due al quadrato.

2(26t^2 - 80t + 64) = 36t^2 - 96t + 64

Da cui si ottiene

16t^2 - 64t + 64 = 0 \implies t^2 - 4t + 4 = 0

Questa equazione di secondo grado ammette un'unica soluzione ed è t = 2; questo ci dice che il centro della circonferenza è

C = (x_c, y_c) = (2, 2) \implies R = 2 \sqrt{2}

La generica equazione di una circonferenza è

\gamma* : (x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = R^2

che nel nostro caso diventa

\gamma : (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 8

La prima parte del problema è conclusa. Tieni conto che per me il centro è C, non O e che C è D per non avere ambiguità! Adesso passiamo a determinare il vertice A del diametro sapendo che è simmetrico a O rispetto a C:

O = (0, 0) \qquad C = (2,2) \implies A = (4, 4)

Per trovare i due triangoli equilateri, dobbiamo determinare le due corde \overline{AB} e \overline{AD} che hanno lunghezza pari al raggio.

Passiamo ad un nuovo sistema di riferimento, il cui cambiamento si può esprimere con il sistema

\left\{ \begin{array}{l  l} x_1 = x - 2 \\ y_1 = y - 2 \end{array} \right.

In tal modo l'equazione della circonferenza diventa

\gamma_1 : x_1^2 + y_1^2 = 8

Si ha quindi che C = (0, 0) ed A=(2,2); determiniamo i punti B e D della figura sapendo che sono dati dall'intersezione tra la circonferenza del nuovo sistema di riferimento e la circonferenza del vecchio sistema di riferimento: il risultato sarà però valido solo nel nuovo!

\left\{ \begin{array}{l  l} x_1^2 + y_1^2 = 8 \\ (x_1 - 2)^2 + (y_1 - 2)^2 = 8 \end{array} \right.

Le soluzioni sono date da

B_1 = (1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})

D_1 = (1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3})

Tornando al vecchio sistema di riferimento otteniamo i punti

B = (3 - \sqrt{3}, 3 + \sqrt{3})

D = (3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3})

Il poligono ABCD è un rombo la cui diagonale minore è il raggio della circonferenza e quella maggiore data dalla distanza tra i punti appena trovati:

\overline{BD} = \sqrt{24}

L'area del rombo sarà perciò

A = \frac{\overline{AC} \cdot \overline{BD}}{2} = \frac{8 \sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3}

Finito emt è tutto chiaro emt ?
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os