Equazioni delle rette tangenti a una circonferenza

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Equazioni delle rette tangenti a una circonferenza #11383

avt
yasmab
Cerchio
Ciao a tutti, ho questo problema sulle rette tangenti ad una circonferenza data, non riesco a capirlo.

Sia C la circonferenza C:\ 2x^2+2y^2-12x+4y=-10. Determinare :

a) l'equazione delle tangenti del cerchio che sono parallele a d:\ y-2x+1=0
b) l'equazione delle tangenti del cerchio che comprendono l'origine.

Grazie.
 
 

Equazioni delle rette tangenti a una circonferenza #11384

avt
frank094
Maestro
Ciao Yasmab,

per la risoluzione del primo punto dobbiamo semplicemente trovarci il coefficiente angolare della retta d e poi trovare la generica retta con tale coefficiente.

d: y - 2x + 1 = 0 \implies d: y = 2x - 1

Questo ci dice che il coefficiente angolare della retta è m_d = 2, perché essa è scritta nella forma

r_g : y = mx + q

Fatto ciò, e ripresa la definizione appena data di retta, possiamo scrivere la retta generica parallela a d come

s : y = 2x + q

Per completarla dobbiamo trovare il parametro q; per farlo imponiamo la tangenza della retta con la circonferenza imponendo la distanza centro-retta uguale al raggio della circonferenza.

\gamma: 2x^2 + 2y^2 - 12x + 4y + 10 = 0

Completiamo i due quadrati per riportare la circonferenza alla forma canonica..

\gamma: 2(x^2 - 6x) + 2(y^2 + 2y) + 10 = 0

\gamma: 2(x - 3)^2 + 2(y + 1)^2 + 10 - 18 - 2 = 0

Da cui si ottiene

\gamma: (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 5

Questo vuol dire che R_{\gamma} = \sqrt{5}.. imponiamo dunque che la distanza punto retta sia pari a questo; calcoliamo adesso il centro della circonferenza

C_{\gamma} = (3, - 1)

La distanza punto-retta è dunque

D = \frac{|- 7 - q|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \implies q_1 = - 12 \vee q_2 = - 2

Ne risulta dunque che le due rette cercate sono

s_1 : y = 2x - 2 \qquad \qquad s_2 : y = 2x - 12

2. Per il secondo punto è sufficiente trovare le rette generiche che passano per l'origine degli assi cartesiani ed imporre la stessa distanza punto-retta; la generica è

t: y - y_0 = m(x - x_0) \to_{(x, y) = (0, 0)} t: y - mx = 0

Adesso imponiamo la stessa distanza punto retta..

D = \frac{|- 1 - 3m|}{\sqrt{1 + m^2}} = \sqrt{5} \implies |- 1 - 3m| = \sqrt{5 + 5m^2}

Eleviamo al quadrato entrambi i membri ( sicuramente positivi )..

1 + 9m^2 + 6m = 5 + 5m^2 \implies 4m^2 + 6m - 4 = 0

Le soluzioni di questa equazione di secondo grado sono

m_1 = - 2 \qquad \qquad m_2 = \frac{1}{2}

e dunque le due rette sono

t_1 :y = - 2x \qquad \qquad t_2 : y = \frac{1}{2}x

Ed ecco fatto emt ! E' tutto chiaro ?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, yasmab
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Os