Angolo tra due rette e circonferenze tangenti

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Angolo tra due rette e circonferenze tangenti #11163

yasmab Cerchio	Mi è capitato un problema sull'angolo tra due rette e sulle circonferenze tangenti a due rette che non sono proprio in grado di risolvere. Potreste darmi una mano? Date le rette di equazione (a) Calcolare l'angolo acuto formato dalle due rette. (b) Determinare le equazioni delle circonferenze tangenti a e a e di cui il centro a come ordinata -2. Grazie.

Angolo tra due rette e circonferenze tangenti #11169

Omega

Amministratore

L'esercizio dà le equazioni di due rette

r: 3x+6y-2 = 0 ; s: 2x+y+1 = 0

e ci chiede di:

- calcolare l'angolo acuto tra le rette;

- determinare le equazioni delle circonferenze tangenti a

e a

, sapendo che l'ordinata dei loro centri è -2.

Angolo acuto tra le due rette

In generale, l'angolo acuto

compreso tra due rette di equazioni

r: a_1x+b_1y+c_1 = 0 ; s: a_2x+b_2y+c_2 = 0

con

, è l'unico angolo compreso tra

che soddisfa la seguente equazione goniometrica

in cui

sono i coefficienti angolari delle due rette.

Calcoliamo i coefficienti angolari delle rette

m_(r) = -(a_1)/(b_1) = -(3)/(6) = -(1)/(2) ; m_(s) = -(a_2)/(b_2) = -(2)/(1) = -2

e sostituiamoli nella formula dell'angolo

tan(α) = |(-(1)/(2)-(-2))/(1+(-(1)/(2))·(-2))|

Svolgendo i calcoli al secondo membro e prestando attenzione al valore assoluto, l'equazione diventa

non è un valore notevole della tangente, perciò dobbiamo applicare l'arcotangente ai due membri per ottenere la soluzione

L'angolo acuto tra le due rette è quindi

.

Circonferenze tangenti alle due rette

Per determinare le circonferenze tangenti alle due rette

e di centro

avente ordinata -2, procederemo in questo modo.

Calcoliamo la distanza tra

e le due rette con la formula della distanza punto-retta

R_1 = dist(C,r) = (|a_1x_(C)+b_1y_(C)+c_1|)/(√(a_1^2+b_1^2)) = (|3x_(C)+6(-2)-2|)/(√(3^2+6^2)) = (|3x_(C)-14|)/(√(45)) = (|3x_(C)-14|)/(3√(5))

mentre

R_2 = dist(C,s) = (|a_(2)x_(C)+b_(2)y_(C)+c_2|)/(√(a_2^2+b_2^2)) = (|2x_(C)+(-2)+1|)/(√(2^2+1^2)) = (|2x_(C)-1|)/(√(5))

Osserviamo che dal punto di vista geometrico le due distanze rappresentano le lunghezze dei raggi delle due circonferenze.

Se imponiamo l'uguaglianza

, otteniamo la seguente equazione con valore assoluto nell'incognita

Per risolverla moltiplichiamo i due membri per

e spezziamola nell'equazione che si ottiene uguagliando gli argomenti dei due valori assoluti

e in quella che si ottiene uguagliando l'argomento del primo valore assoluto con l'opposto del secondo

Abbiamo ottenuto due valori per l'ascissa del centro e a ciascuno di essi possiamo associare il raggio e quindi l'equazione della circonferenza.

A

associamo il raggio

R = (|3x_(C)-14|)/(3√(5)) = (|3(-(11)/(3))-14|)/(3√(5)) = (25)/(3√(5)) = (5√(5))/(3)

e l'equazione della prima circonferenza

(x-x_(C))^2+(y-y_(C))^2 = R^2 ; (x+(11)/(3))^2+(y+2)^2 = ((5√(5))/(3))^2 ; (x+(11)/(3))^2+(y+2)^2 = (125)/(9)

associamo il raggio

R = (|3x_(C)-14|)/(3√(5)) = (|3·(17)/(9)-14|)/(3√(5)) = (5√(5))/(9)

e l'equazione della seconda circonferenza

(x-x_(C))^2+(y-y_(C))^2 = R^2 ; (x-(17)/(9))^2+(y+2)^2 = ((5√(5))/(9))^2 ; (x-(17)/(9))^2+(y+2)^2 = (125)/(81)

È fatta!

Ringraziano: Pi Greco, frank094, yasmab

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