Angolo tra due rette e circonferenze tangenti

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Angolo tra due rette e circonferenze tangenti #11163

avt
yasmab
Cerchio
Mi è capitato un problema sull'angolo tra due rette e sulle circonferenze tangenti a due rette che non sono proprio in grado di risolvere. Potreste darmi una mano?

Date le rette di equazione

\\ r:\ 3x+6y-2=0\\ \\ s:\ 2x+y+1=0

(a) Calcolare l'angolo acuto formato dalle due rette.

(b) Determinare le equazioni delle circonferenze tangenti a r e a s e di cui il centro a come ordinata -2.

Grazie.
 
 

Angolo tra due rette e circonferenze tangenti #11169

avt
Omega
Amministratore
L'esercizio dà le equazioni di due rette

\\ r:\ 3x+6y-2=0 \\ \\ s:\ 2x+y+1=0

e ci chiede di:

- calcolare l'angolo acuto tra le rette;

- determinare le equazioni delle circonferenze tangenti a r e a s, sapendo che l'ordinata dei loro centri è -2.


Angolo acuto tra le due rette

In generale, l'angolo acuto \alpha compreso tra due rette di equazioni

\\ r:\ a_1x+b_1y+c_1=0 \\ \\ s:\ a_2x+b_2y+c_2=0

con b_1\ne 0,\ b_2\ne 0, è l'unico angolo compreso tra 0^{\circ}\ \mbox{e}\ 90^{\circ} che soddisfa la seguente equazione goniometrica

\tan(\alpha)=\left|\frac{m_r-m_s}{1+m_r m_s}\right|

in cui m_r,\, m_s sono i coefficienti angolari delle due rette.

Calcoliamo i coefficienti angolari delle rette r \ \mbox{e}\ s

\\ m_{r}=-\frac{a_1}{b_1}=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}\\ \\ \\ m_{s}=-\frac{a_2}{b_2}=-\frac{2}{1}=-2

e sostituiamoli nella formula dell'angolo

\tan(\alpha)=\left|\frac{-\tfrac{1}{2}-(-2)}{1+\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot(-2)}\right|

Svolgendo i calcoli al secondo membro e prestando attenzione al valore assoluto, l'equazione diventa

\tan(\alpha)=\frac{3}{4}

\frac{3}{4} non è un valore notevole della tangente, perciò dobbiamo applicare l'arcotangente ai due membri per ottenere la soluzione

\alpha=\arctan\left(\frac{3}{4}\right)\simeq 36,87^{\circ}

L'angolo acuto tra le due rette è quindi \alpha=\arctan\left(\frac{3}{4}\right).


Circonferenze tangenti alle due rette

Per determinare le circonferenze tangenti alle due rette r \ \mbox{e} \ s e di centro C avente ordinata -2, procederemo in questo modo.

Calcoliamo la distanza tra C e le due rette con la formula della distanza punto-retta

\\ R_1=\mbox{dist}(C,r)=\frac{|a_1x_{C}+b_1y_{C}+c_1|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\\ \\ \\=\frac{|3x_{C}+6(-2)-2|}{\sqrt{3^2+6^2}}= \\ \\ \\ =\frac{|3x_{C}-14|}{\sqrt{45}}=\frac{|3x_{C}-14|}{3\sqrt{5}}

mentre

\\ R_2=\mbox{dist}(C,s)=\frac{|a_{2}x_{C}+b_{2}y_{C}+c_2|}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}= \\ \\ \\ =\frac{|2x_{C}+(-2)+1|}{\sqrt{2^2+1^2}}= \\ \\ \\ =\frac{|2x_{C}-1|}{\sqrt{5}}

Osserviamo che dal punto di vista geometrico le due distanze rappresentano le lunghezze dei raggi delle due circonferenze.

Se imponiamo l'uguaglianza R_1=R_2, otteniamo la seguente equazione con valore assoluto nell'incognita x_{C}

R_1=R_2 \ \ \to \ \ \frac{|3x_{C}-14|}{3\sqrt{5}}=\frac{|2x_{C}-1|}{\sqrt{5}}

Per risolverla moltiplichiamo i due membri per 3\sqrt{5}

\\ |3x_{C}-14|=3|2x_C-1| \\ \\ |3x_{C}-4|=|6x_{C}-3|

e spezziamola nell'equazione che si ottiene uguagliando gli argomenti dei due valori assoluti

3x_{C}-14=6x_{C}-3 \ \ \ \to \ \ \ x_{C}=-\frac{11}{3}

e in quella che si ottiene uguagliando l'argomento del primo valore assoluto con l'opposto del secondo

3x_{C}-14=-6x_{C}+3\ \ \ \to \ \ \ x_{C}=\frac{17}{9}

Abbiamo ottenuto due valori per l'ascissa del centro e a ciascuno di essi possiamo associare il raggio e quindi l'equazione della circonferenza.

A x_{C}=-\frac{11}{3} associamo il raggio

\\ R=\frac{|3x_{C}-14|}{3\sqrt{5}}=\frac{\left|3\left(-\tfrac{11}{3}\right)-14\right|}{3\sqrt{5}}= \\ \\ \\ =\frac{25}{3\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{3}

e l'equazione della prima circonferenza

\\ \left(x-x_{C}\right)^2+\left(y-y_{C}\right)^2=R^2 \\ \\ \left(x+\frac{11}{3}\right)^2+(y+2)^2=\left(\frac{5\sqrt{5}}{3}\right)^2 \\ \\ \\ \left(x+\frac{11}{3}\right)^2+(y+2)^2=\frac{125}{9}

A x_{C}=\frac{17}{9} associamo il raggio

R=\frac{|3x_{C}-14|}{3\sqrt{5}}=\frac{\left|3\cdot\tfrac{17}{9}-14\right|}{3\sqrt{5}}=\\ \\ \\ =\frac{5\sqrt{5}}{9}

e l'equazione della seconda circonferenza

\\ \left(x-x_{C}\right)^2+\left(y-y_{C}\right)^2=R^2 \\ \\ \left(x-\frac{17}{9}\right)^2+(y+2)^2=\left(\frac{5\sqrt{5}}{9}\right)^2 \\ \\ \\ \left(x-\frac{17}{9}\right)^2+(y+2)^2=\frac{125}{81}

È fatta!
Ringraziano: Pi Greco, frank094, yasmab
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Os