Problemi di secondo grado in una incognita, da risolvere con il metodo diretto

In questo problema di secondo grado col metodo diretto come dovrei comportarmi? Potreste far luce? In particolare vi prego di soffermarvi sull'interpretazione geometrica delle soluzioni.

Su una circonferenza il cui diametro AB misura 2r, determinare un punto P tale che



Essendo H la proiezione ortogonale di P su AB e O il centro della semicirconferenza (posto AH=x, si ottiene un'equazione di secondo grado pura...)

Grazie mille in anticipo!

Ciao M.Rita, vediamo come risolvere questo problema..



Il punto varia la sua posizione ma è comunque vincolato alla circonferenza e ci sono dei punti limite molto interessanti da discutere.
La relazione per cui dobbiamo trovare la posizione del punto è


Posto notiamo immediatamente che quando i punti ed coincidono con in modo che si ha


Quando è invece ad essere nullo, si ha che .. in seguito vedremo cosa comporta.

Infine quando coincidono tutti con si ha che e così che vale la relazione


Adesso passiamo alla generalizzazione. Posto si trova immediatamente che


Per trovare l'altro lato possiamo ricorrere al

Primo Teorema di Euclide: in un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa stessa.

Si ha che


Andando a sostituire nella relazione iniziale si ha che


Si ottiene


Arrivati a questo punto è chiaro che potrà assumere solo determinati valori avendo che .. in particolare si ha che


Cosa intendi di preciso con "interpretazione geometrica"? Forse che bisogna discutere al variare di cosa succede con il metodo grafico ( fasci di rette, parabola, ecc.. ) ?

Puoi farmela?

Per favore, non darmi del lei non è necessario e come se non bastasse ho anche la tua stessa età !

Allora, dobbiamo discutere il sistema di equazioni


Portiamo il termine a destra dell'uguale e poi spezziamo l'equazione in due funzioni: una parabola fissa ed un fascio di rette improprio e parallelo all'asse delle .




I limiti si individuano facilmente: quando allora così che il primo punto è


mentre il secondo punto si trova con l'altra limitazione.. nello specifico si ha


In tutto l'intervallo da considerare, il fascio di rette improprio individua una ed una sola soluzione; vediamo quindi i attorno a cui oscilla.


Questo per quanto riguarda il primo punto limite; per il secondo si trova facilmente che


Tutti i presi negli intervalli individuati, danno una ed una sola soluzione; in particolare si ha


Tutto chiaro ?

Guarda non sai come ti sono grato!!! grazieeee