Un problema con un fascio di rette

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Un problema con un fascio di rette #1100

avt
giovanna girardi
Punto
Non riesco a risolvere questo problema con un fascio di rette, per cortesia sarebbe possibile avere la risoluzione? Grazie in anticipo:

1)Nel fascio di rette di equazione 2(k+1)x+(k-1)y-11k-1=0, individua le rette che hanno generato il fascio e indica con C il centro del fascio

2) Scrivi l'equazione della retta r del fascio,relativa ad un valore positivo del parametro k,che forma con gli assi cartesiani nel primo quadrante un triangolo di area 98/3

3)Determina la retta s del fascio perpendicolare alla retta r.

4)Sia D l'intersezione della retta s con l'asse delle ordinate. Sia CD il lato di un quadrato, tutto situato nel primo quadrante.Trova gli altri vertici A e B del quadrato.

5)Calcola il perimetro e l'area del quadrato ABCD.
 
 

Re: Un problema con un fascio di rette #1116

avt
Omega
Amministratore
Ciao Giovanna, prendi il fascio di rette

2(k+1)x+(k-1)y-11k-1=0

svolgi le parentesi e riscrivilo nella forma

k(qualcosa)+(altro)=0

in modo da raccogliere k. Trovi

k(2x+y-11)+(2x-y-1)=0

le due rette che generano il fascio sono

2x+y-11=0
2x-y-1=0

Per trovare il centro del fascio, devi semplicemente mettere a sistema le due equazioni. Troverai che il centro è dato da (3,5).

Per il punto 2), scrivi la generica retta del fascio nella forma

y=-\frac{2(k+1)}{k-1}x+\frac{11k+1}{k-1}

devi individuare una retta, ossia un valore di k, in modo tale che essa intersechi l'asse delle x e l'asse delle y, rispettivamente, in un punto ciascuno. Il triangolo che trovi in questo modo ha coordinate del tipo

A=(ascissa,0)\mbox{ }B=(0,ordinata)\mbox{ }O=(0,0)

Per trovare le coordinate dei primi due vertici, molto semplicemente, risolvi i due semplicissimi sistemi

\left\{\begin{matrix}y=-\frac{2(k+1)}{k-1}x+\frac{11k+1}{k-1}\\ x=0\end{matrix}}

e

\left\{\begin{matrix}y=-\frac{2(k+1)}{k-1}x+\frac{11k+1}{k-1}\\ y=0\end{matrix}}

Le coordinate dell'ascissa del primo vertice e dell'ordinata del secondo vertice dipendono da k. Fatto ciò, calcola l'area del triangolo ABO e imponila uguale al valore che ti dà il testo dell'esercizio. ABO è un triangolo rettangolo, quindi l'area è il semiprodotto dei due cateti

A_{ABO}=\frac{x_A\cdot y_{B}}{2}=\frac{98}{3}

dovrebbe uscirne un'equazione di secondo grado della quale devi considerare solamente la soluzione k che sia positiva.

Fin qui è tutto chiaro?
Ringraziano: frank094, Ifrit

Re: Un problema con un fascio di rette #1117

avt
giovanna girardi
Punto
si fin qui è tutto chiaro. Ti ringrazio tantissimo

Re: Un problema con un fascio di rette #1127

avt
Omega
Amministratore
Ok, procediamo. emt

Per risolvere il punto 3), è sufficiente scrivere l'equazione della retta r nella forma

r:y=m_r x+q_r

dove m_r è il coefficiente angolare della retta. Dato che vogliamo che la retta s:y=m_s x+q_s sia perpendicolare alla retta r, dobbiamo semplicemente imporre la condizione di perpendicolarità tra le rette: i coefficienti angolari devono essere l'uno il reciproco dell'opposto dell'altro, quindi

m_s=-\frac{1}{m_r}

ci manca da determinare l'ordinata all'origine q_{s}: per trovarla è sufficiente richiedere che la retta s passi per il centro del fascio. Dunque, le coordinate del centro ne devono verificare l'equazione

y_C=m_{s}x_{C}+q_{s}

In questo modo trovi l'equazione della retta s. Fin qui tutto ok?
Ringraziano: frank094

Re: Un problema con un fascio di rette #1136

avt
giovanna girardi
Punto
si grazie fin qui tutto ok

Re: Un problema con un fascio di rette #1146

avt
Omega
Amministratore
4)Sia D l'intersezione della retta s con l'asse delle ordinate. Sia CD il lato di un quadrato, tutto situato nel primo quadrante. Trova gli altri vertici A e B del quadrato.
5)Calcola il perimetro e l'area del quadrato ABCD

Ok! Per risolvere il punto 4) bisogna risolvere il sistema tra l'equazione della retta s e l'equazione dell'asse delle ordinate x=0.

Ora osserva che la retta s passa per il punto C e per il punto D, naturalmente. I lati consecutivi di un quadrato sono perpendicolari, quindi il terzo vertice del quadrato, sia esso E, lo trovi considerando la retta r, che passa per il punto C ed è perpendicolare a s, e richiedendo che:

- le coordinate E=(x_{E},y_{E}) devono soddisfare l'equazione della retta s, quindi sostituiscile al posto della x e della y nell'equazione della retta s;

- il punto E deve distare dal punto C di una lunghezza pari alla lunghezza del lato CD, ossia uguagliando le distanze tra le coppie di punti

\sqrt{(x_E-x_C)^2+(y_E-y_C)^2}=\sqrt{(x_D-x_C)^2+(y_D-y_C)^2}

Le ultime due condizioni ti danno due equazioni che devi mettere a sistema. In questo modo trovi le coordinate del punto E. Chiamiamo F il quarto vertice: esso è dato dall'intersezione delle rette:

- perpendicolare a s e passante per D;
- perpendicolare a r e passante per E;

Determina le equazioni di queste due rette e mettile a sistema: così facendo trovi le coordinate del vertice F. Una volta fatto ciò, possiamo passare direttamente al punto 5):

2p_{Q}=4l\mbox{, }A_{Q}=l^2.

Re: Un problema con un fascio di rette #1218

avt
giovanna girardi
Punto
grazie mi siete stati di grande aiuto!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Re: Un problema con un fascio di rette #1221

avt
Omega
Amministratore
Di niente! emt

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