Problema di massimo con quadrato e semicirconferenza

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Problema di massimo con quadrato e semicirconferenza #1081

avt
Diddi
Cerchio
Salve a tutti! Mi sono imbattuta in un problema di massimo con quadrato e semicirconferenza, che non riesco a risolvere.. non ne ho mai fatti di così.. qualcuno potrebbe spiegarmi come farlo? grazie!

Dato il quadrato ABCD di lato unitario, costruisci una semicirconferenza di diametro AB esterna al quadrato. Considerato sulla semicirconferenza il punto P, con l'angolo ABP = x, determina la funzione:

f(x) = PC^2 + PD^2

Rappresenta la funzione su un periodo completo ed evidenzia la parte relativa al problema. Individua la situazione geometrica corrispondente al valore massimo della funzione.

[f(x) = 3 + 2sen2x, 0° < x < 90°; max: (45°; 5)]
 
 

Problema di massimo con quadrato e semicirconferenza #1118

avt
frank094
Sfera
Ciao Diddi, per risolvere il quesito ho fatto uso del Teorema del Coseno o di Carnot, ma prima di guidarti nella risoluzione volevo essere sicuro che anche tu l'avessi studiato ( in caso contrario cercherò una seconda soluzione che non implichi tale teorema ).

Appena mi dai conferma procedo emt !

Problema di massimo con quadrato e semicirconferenza #1119

avt
Diddi
Cerchio
No,non l'avevo ancora studiato.. ce l'ha spiegato oggi il proff perchè si è accorto del suo errore ^^ grazie mille!

Problema di massimo con quadrato e semicirconferenza #1121

avt
frank094
Sfera
Ok, andiamo a vedere come si risolve ( al più tornerà utile a qualche altro utente in futuro! ) emt.

La prima cosa da fare per seguire al meglio la risoluzione è utilizzare un bel disegno.

Consideriamo il triangolo APB e andiamo a fare qualche considerazione sugli angoli: si tratta di un triangolo inscritto in una semicirconferenza di conseguenza è un triangolo rettangolo.
Il secondo angolo ci è dato per ipotesi ( x ) .. sapendo che la somma degli angoli di un triangolo è 180° allora possiamo ricavarli tutti:

A\widehat{P}B = \frac{\pi}{2}

A\widehat{B}P = x

B\widehat{A}P = \frac{\pi}{2} - x

E' chiaro che, essendo il triangolo rettangolo, la x deve sottostare alla limitazione 0 < x < π/2!
Una volta noti tutti e tre gli angoli possiamo passare ai lati (da trovare in funzione dell'ipotenusa unitaria):

\overline{PB} = \overline{AB} \cdot \cos{x} = \cos{x}

\overline{PA} = \overline{AB} \cdot \sin{x} = \sin{x}

A questo punto si può iniziare con il Teorema di Carnot .. consideriamo il triangolo BPC, sappiamo che:

\overline{PC^{2}} = \overline{BP^{2}} + \overline{BC^{2}}- 2 \overline{BP} \cdot \overline{BC} \cdot \cos{(P\widehat{B}C)}

Ma l'angolo PBC è dato dalla somma di quello del quadrato ( pi/2 ) e quello in B incognito ( x ) .. di conseguenza abbiamo

\overline{PC^{2}} = \overline{BP^{2}} + \overline{BC^{2}}- 2 \overline{BP} \cdot \overline{BC} \cdot \cos{(\frac{\pi}{2} + x)}

Andiamo a sostituire sapendo che BC = lato quadrato = 1, e BP = cos(x):

\overline{PC^{2}} = \cos^{2}{x} + 1 - 2 \cos{x} \cdot \cos{(\frac{\pi}{2} + x)}

Ma cos(pi/2 + x) = - sin(x) .. andiamo a sostituire:

\overline{PC^{2}} = \cos^{2}{x} + 1 + 2 \cos{x} \cdot \sin{x}


----------------------------

Consideriamo ora il triangolo APD .. il Teorema di Carnot ci dice che:

\overline{PD^{2}} = \overline{AP^{2}} + \overline{AD^{2}}- 2 \overline{AP} \cdot \overline{AD} \cdot \cos{(P\widehat{A}D)}

Nei primi passaggi ci siamo ricavati l'angolo BAP che sommato a quello del quadrato ( pi/2 ) ci da l'angolo PAD ( pi/2 + pi/2 - x = pi - x ):

\overline{PD^{2}} = \sin^{2}{x} + 1 - 2 \cdot \cos{(\pi - x)} \cdot \sin{x}

Per le formule degli angoli associati: cos(pi - x) = - cos(x):

\overline{PD^{2}} = \sin^{2}{x} + 1 + 2 \cdot \cos{x} \cdot \sin{x}


------------------------

Finalmente abbiamo ricavato i due lati al quadrato .. possiamo scrivere la funzione:

{f(x)} = \overline{PC^{2}} + \overline{PD^{2}}

{f(x)} = \cos^{2}{x} + 1 + 2 \cdot \cos{x} \cdot \sin{x} + \sin^{2}{x} + 1 + 2 \cdot \cos{x} \cdot \sin{x}

La prima relazione fondamentale della goniometria (vedi il formulario con le formule trigonometriche) ci dice che:

\cos^{2}{x} + \sin^{2}{x} = 1

La funzione diventa di conseguenza

{f(x)} = 1 + 1 + 1 + 2 \cdot \cos{x} \cdot \sin{x} + 2 \cdot \cos{x} \cdot \sin{x}

{f(x)} = 3 + 4 \cdot \cos{x} \cdot \sin{x}

La formula di duplicazione del seno ci dice che

\sin{2x} = 2 \cdot \sin{x} \cdot \cos{x} .. andiamo a sostituire:

{f(x)} = 3 + 2 \cdot \sin{2x}


Infine andiamo a vedere quando la funzione assume il suo valore massimo; è presente una costante ( 3 ) e la funzione seno che assume il suo valore massimo nel punto π/2.
La funzione seno ha però un argomento raddoppiato quindi essa raggiunge il valore massimo quando x = π/4.

{f(\frac{\pi}{4})} = 3 + 2 \cdot \sin{\frac{\pi}{2}} = 3 + 2 = 5

Tutto chiaro?
Ringraziano: Omega, Diddi, Ifrit, chiaruz16
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Os