Esercizio su ellisse e circonferenza

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Esercizio su ellisse e circonferenza #10489

avt
tappo
Punto
Buonasera, vi chiedo cortesemente di aiutarmi a svolgere questo esercizio su ellisse e circonferenza:

scrivi l'equazione canonica dell'ellisse che ha i fuochi sull'asse delle ascisse, un vertice V(2;0) ed eccentricità e = (√(3))/(2) e quella della circonferenza con centro nell'origine rispettivamente inscritta e circoscritta all'ellisse. Indicati poi con A e B le intersezioni situate nel terzo quadrante delle due circonferenze con la bisettrice del primo e terzo quadrante calcola l'area del triangolo AVB.

Grazie!
Ringraziano: ZioMike
 
 

Esercizio su ellisse e circonferenza #10568

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Tappo! Benvenuto su Youmath!! emt emt

Veniamo al tuo problema: Ti conviene tenere aperto in un'altra scheda il formulario sull'ellisse.

L'equazione dell'ellisse è:

(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2) = 1

Sappiamo che

• i fuochi giacciono sull'asse X, le loro coordinate sono della forma:

F_1(-c, 0), F_2(c, 0)

• Un vertice che giace sull'asse X

V(2, 0)

L'ascissa di questo punto rappresenta la lunghezza del semiasse maggiore dell'ellisse in questione otteniamo che a = 2

e = (√(3))/(2)

L'eccentricità è per definizione:

e = (semidistanza focale)/(semiasse maggiore) =

= (c)/(a)

Moltiplicando e per a otterremo quindi la semidistanza focale c:

c = a e = 2×(√(3))/(2) = √(3)

Grazie a questa informazione possiamo calcolare b tramite la relazione fondamentale:

c^2 = a^2-b^2

da cui:

b^2 = a^2-c^2 = 4-3 = 1

Quindi:

E: (x^2)/(4)+y^2 = 1

La circonferenza inscritta nell'ellisse deve avere necessariamente raggio uguale al semiasse minore b = 1, il centro lo conosciamo già quindi:

C_1: x^2+y^2 = 1

La circonferenza circoscritta all'ellisse invece ha raggio uguale al semiasse maggiore a = 2:

C_2: x^2+y^2 = 4

A questo punto troviamo le intersezioni tra le due circonferenze e la bisettrice del primo e del terzo quadrante:

x^2+y^2 = 1 ; y = x

Da cui per sostituzione, otteniamo l'equazione risolvente:

2x^2 = 1 ; y = x ⇒ x^2 = (1)/(2) ⇒ x = ±(1)/(√(2))

I punti di intersezione sono:

P_1 = ((1)/(√(2)), (1)/(√(2)))

A = (-(1)/(√(2)),-(1)/(√(2)))

A noi interessa A perché giace nel terzo quadrante.

Troviamo ora i punti di intersezione tra il primo e il terzo quadrante con la circonferenza esterna:

x^2+y^2 = 4 ; y = x

Per sostituzione:

2x^2 = 4 ; y = x ⇒ x = ±√(2)

I punti di intersezione sono:

B = (-√(2),-√(2))

B_1 = (√(2), √(2))

Siamo interessati esclusivamente al punto B perché sta nel terzo quadrante.

Osserva che la distanza tra i due punti A e B è 2-1 = 1, questo perché sono punti di circonferenze concentriche.

Sia ora AB, la cui lunghezza è 1, la base del triangolo ABV, quello che ci manca è l'altezza di quest'ultimo, ma non ci sono problemi, essa è rappresentata dalla distanza tra la retta bisettrice e il punto V. Essa può essere determinata utilizzando la formula per la distanza di un punto da una retta.

Data la retta scritta in forma implicita:

r:α x+β y+γ = 0

la distanza tra la retta e un punto di coordinate (x_0, y_0) è:

d(r, (x_0, y_0)) = (|α x_0+β y_0+γ|)/(√(α^2+β^2))

Sia ora la bisettrice di equazione b:-x+y = 0 e V(2,0)

Allora:

h = d(b, V) = (|-2|)/(√(2)) = √(2)

Quindi abbiamo la base AB = 1 e l'altezza h, l'area del triangolo è

A = (AB×h)/(2) = (√(2))/(2)

Abbiamo finito emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, frank094, dav09
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Os