Esercizio su ellisse e circonferenza

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Esercizio su ellisse e circonferenza #10489

avt
tappo
Punto
Buonasera, vi chiedo cortesemente di aiutarmi a svolgere questo esercizio su ellisse e circonferenza:

scrivi l'equazione canonica dell'ellisse che ha i fuochi sull'asse delle ascisse, un vertice V(2;0) ed eccentricità e=\frac{\sqrt{3}}{2} e quella della circonferenza con centro nell'origine rispettivamente inscritta e circoscritta all'ellisse. Indicati poi con A e B le intersezioni situate nel terzo quadrante delle due circonferenze con la bisettrice del primo e terzo quadrante calcola l'area del triangolo AVB.

Grazie!
Ringraziano: ZioMike
 
 

Esercizio su ellisse e circonferenza #10568

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Tappo! Benvenuto su Youmath!! emt emt

Veniamo al tuo problema: Ti conviene tenere aperto in un'altra scheda il formulario sull'ellisse.

L'equazione dell'ellisse è:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

Sappiamo che

• i fuochi giacciono sull'asse X, le loro coordinate sono della forma:

F_1(-c, 0), F_2(c, 0)

• Un vertice che giace sull'asse X

V(2, 0)

L'ascissa di questo punto rappresenta la lunghezza del semiasse maggiore dell'ellisse in questione otteniamo che a=2

e= \frac{\sqrt{3}}{2}

L'eccentricità è per definizione:

e=\frac{\mbox{semidistanza focale }}{\mbox{semiasse maggiore}}=

= \frac{c}{a}

Moltiplicando e per a otterremo quindi la semidistanza focale c:

c= a e= 2\times\frac{\sqrt{3}}{2}= \sqrt{3}

Grazie a questa informazione possiamo calcolare b tramite la relazione fondamentale:

c^2= a^2-b^2

da cui:

b^2= a^2-c^2= 4-3=1

Quindi:

E: \frac{x^2}{4}+y^2=1

La circonferenza inscritta nell'ellisse deve avere necessariamente raggio uguale al semiasse minore b=1, il centro lo conosciamo già quindi:

C_1: x^2+y^2=1

La circonferenza circoscritta all'ellisse invece ha raggio uguale al semiasse maggiore a=2:

C_2: x^2+y^2= 4

A questo punto troviamo le intersezioni tra le due circonferenze e la bisettrice del primo e del terzo quadrante:

\begin{cases}x^2+y^2=1\\ y=x\end{cases}

Da cui per sostituzione, otteniamo l'equazione risolvente:

\begin{cases}2x^2=1\\y=x\end{cases}\implies x^2=\frac{1}{2}\implies x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}

I punti di intersezione sono:

P_1=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)

A=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)

A noi interessa A perché giace nel terzo quadrante.

Troviamo ora i punti di intersezione tra il primo e il terzo quadrante con la circonferenza esterna:

\begin{cases}x^2+y^2=4\\ y=x\end{cases}

Per sostituzione:

\begin{cases}2x^2=4\\ y=x\end{cases}\implies x=\pm \sqrt{2}

I punti di intersezione sono:

B= (-\sqrt{2}, -\sqrt{2})

B_1= (\sqrt{2}, \sqrt{2})

Siamo interessati esclusivamente al punto B perché sta nel terzo quadrante.

Osserva che la distanza tra i due punti A e B è 2-1=1, questo perché sono punti di circonferenze concentriche.

Sia ora AB, la cui lunghezza è 1, la base del triangolo ABV, quello che ci manca è l'altezza di quest'ultimo, ma non ci sono problemi, essa è rappresentata dalla distanza tra la retta bisettrice e il punto V. Essa può essere determinata utilizzando la formula per la distanza di un punto da una retta.

Data la retta scritta in forma implicita:

r:\alpha x+\beta y+\gamma =0

la distanza tra la retta e un punto di coordinate (x_0, y_0) è:

d(r, (x_0, y_0))= \frac{|\alpha x_0+\beta y_0+\gamma|}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}

Sia ora la bisettrice di equazione b: -x+y=0 e V(2,0)

Allora:

h=d(b, V)= \frac{|-2|}{\sqrt{2}}= \sqrt{2}

Quindi abbiamo la base AB=1 e l'altezza h, l'area del triangolo è

A= \frac{AB\times h}{2}= \frac{\sqrt{2}}{2}

Abbiamo finito emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, frank094, dav09
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