Area di un triangolo individuato da una retta e una circonferenza

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Area di un triangolo individuato da una retta e una circonferenza #10320

avt
domenico
Punto
Salve è la prima volta che vi scrivo e vorrei sapere come calcolare l'area del triangolo formato dalla retta e dalla circonferenza del seguente problema.

Fissato un riferimento cartesiano, sia r la retta di equazione x-y+1=0 e gamma la circonferenza di centro C(1,1) e tangente all'asse x; detti A e B i punti di intersezione con gamma con la retta r, trovare l'area del triangolo di vertici A,B e C.

GRAZIE MILLE A CHIUNQUE VORRA' IMPEGNARSI IN QUEST'IMPRESA!
 
 

Area di un triangolo individuato da una retta e una circonferenza #10351

avt
Omega
Amministratore
Ciao Domenico! emt

La retta ce l'abbiamo: x-y+1=0, la circonferenza quasi: ne conosciamo il centro, C=(1,1) e sappiamo che è tangente all'aasse delle x, il che ci suggerisce che il suo raggio misura r=1.

Da qui a scriverne l'equazione ci vuole poco: basta ricordare che la generica equazione di una circonferenza di centro (x_C,y_C) e raggio r è data da

(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2

per cui nel nostro caso

(x-1)^2+(y-1)^2=1

Sviluppiamo i quadrati? Non serve: questo perché dobbiamo determinare le intersezioni tra retta e circonferenza, e quindi dobbiamo risolvere il sistema di equazioni

(x-1)^2+(y-1)^2=1

y=x+1

sostituiamo l'espressione di y della seconda equazione nella prima

(x-1)^2+(x+1-1)^2=1

x^2-2x+1+x^2=1

2x^2-2x=0

ossia x=0\mbox{, }x=1 cui corrispondono le ordinate y=1\mbox{, }y=2 rispettivamente. I punti di intersezione sono dunque A=(0,1),B=(1,2).

Per calcolare l'area del triangolo ABC, ci basta osservare che si tratta di un triangolo rettangolo con cateti AC,BC e quindi

A_{ABC}=\frac{AC\cdot BC}{2}=\frac{1\cdot 1}{2}=\frac{1}{2}

Se dovessi avere dubbi, non esitare a chiedere...emt
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, frank094, Ifrit, domenico

Re: Area di un triangolo individuato da una retta e una circonferenza #10373

avt
domenico
Punto
Ti ringrazio di tutto è davvero chiarissimo
Ringraziano: Omega
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Os