Esercizio sui quadrilateri con formula di Brahmagupta

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Esercizio sui quadrilateri con formula di Brahmagupta #10316

avt
Lorenzo94
Cerchio
Ciao ragazzi, come lo risolvo questo problema sui quadrilateri? Molto probabilmente serve l'applicazione di Tolomeo o Legendre, Brahmagupta etc....

Di un quadrilatero ABCD sono noti due lati consecutivi AB=8sqrt(3), BC= 12sqrt(2) e gli angoli A=105°, B=75°, C=120°. Dopo aver dimostrato che il quadrilatero è un trapezio, determinare le misure dei lati AD e CD e dell'area.

Grazie mille. emt
 
 

Esercizio sui quadrilateri con formula di Brahmagupta #10368

avt
Omega
Amministratore
Ciao Lorenzo94! Ti anticipo sin da subito che dovremo ricorrere a un paio di proprietà e formule che trovi nella pagina dedicata ai quadrilateri. emt


Per prima cosa mostriamo che il quadrilatero è un trapezio: per vederlo, osserviamo che:

- la somma degli angoli interni di un quadrilatero qualsiasi è 360° per cui

D=360^{o}-(105^{o}+75^{o}+120^{o})=60^{o}

- un quadrilatero è un trapezio se e solo se due dei suoi angoli adiacenti sono supplementari, proprietà che il nostro quadrilatero evidentemente soddisfa.

Abbiamo a che fare con un trapezio, in particolare un trapezio ottusangolo: ora disegna la figura e segui il ragionamento...emt


Dal tuo profilo vedo che sei al quarto anno delle superiori, dunque dovresti aver già studiato trigonometria. Tracciando l'altezza AH relativa alla base BC, possiamo considerare il triangolo ABH nel quale l'angolo BAH misura evidentemente 15^{o}.

Grazie alle relazioni trigonometriche nei triangoli rettangoli, possiamo calcolare

BH=\sin{(BAH)}AB

BH=\sin{(15^{o})}8\sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}8\sqrt{3}=2(\sqrt{18}-\sqrt{6})=2\sqrt{2}(3-\sqrt{3})

Calcoliamo poi l'altezza

AH=\cos{(BAH)}AB=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}8\sqrt{3}=2\sqrt{2}(\sqrt{3}+3)

Conoscendo il lato BC=12\sqrt{2}, possiamo ricavare la lunghezza del segmento HC

HC=BC-BH=12\sqrt{2}-2\sqrt{2}(3-\sqrt{3})=2\sqrt{2}(6-3+sqrt{3})=2\sqrt{2}(3+\sqrt{3})

Guardando al triangolo rettangolo CKD, dove CK indica l'altezza relativa al lato AD

CK=CD\sin{(CDK)}

da cui

CD=\frac{CK}{\sin{(60^{o})}}=\frac{2\sqrt{2}(\sqrt{3}+3)}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{2}(1+\sqrt{3})

ed infine

KD=CD\cos{(60^{o})}=4\sqrt{2}(1+\sqrt{3})\frac{1}{2}=2\sqrt{2}(1+\sqrt{3})

Possiamo quindi calcolare la misura della base AD

AD=AK+KD=HC+KD=2\sqrt{2}(3+\sqrt{3})+2\sqrt{2}(1+\sqrt{3})=2\sqrt{2}(4+2\sqrt{3})

Fatto ciò è possibile calcolare l'area del trapezio con la formula

A_{trap}=\frac{(AD+BC)AH}{2}

o anche, se ci si vuole sbizzarrire, con la formula di Brahmagupta

A=\sqrt{(p-AB)(p-AC)(p-CD)(p-BD)}

dove p indica il semiperimetro del trapezio.

Lascio a te la scelta emt
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, frank094, Ifrit

Esercizio sui quadrilateri con formula di Brahmagupta #10472

avt
Lorenzo94
Cerchio
Grazie mille.
Ho capito tutto, siete troppo forti!

emt
Ringraziano: Omega, Ifrit
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Os