Calcolo area triangolo isoscele con le coordinate dei vertici

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Calcolo area triangolo isoscele con le coordinate dei vertici #10221

avt
Bustedd
Cerchio
Eccomi qui di nuovo! Ok, un altro problemino di Geometria Analitica sull'area di un triangolo isoscele a partire dalle coordinate dei vertici.

Calcola l'area del triangolo isoscele ABC di base BC sapendo che B(-4;1), C(0;-1) e il vertice A appartiene alla retta di equazione 3x + 2y - 15 = 0.

Allora: ho esplicitato la retta, così da avere m = -3/2. Poi direi di trovare l'equazione della retta BC, poi non so proprio come andare avanti. XD
 
 

Calcolo area triangolo isoscele con le coordinate dei vertici #10233

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ok, iniziamo:

Calcoliamo la distanza BC, cioè la misura della base del triangolo isoscele.

Usiamo la formula per la distanza tra due punti

BC= \sqrt{(-4)^2+(2)^2}= \sqrt{20}= 2\sqrt{5}

Sia M il punto medio di BC

M=\left(-2, 0\right)

Calcoliamo la retta passante per i due punti B,C:

r_{BC}: \frac{x+4}{4}= \frac{y-1}{-2}

Da cui, moltiplicando membro a membro per -4

r_{BC}: -x-4= 2(y-1)

Otteniamo la retta:

-x-2y-4+2=0

x+2y+2=0\implies y= -\frac{x}{2}-1.

A questo punto costruiamo il fascio di rette passanti per il punto medio:

f: y=m_f(x-x_0)+y_0\implies y= m_f(x+2)\implies y= m_fx+2m_f

Affinché le rette siano perpendicolari si deve avere che il prodotto dei loro coefficienti angolari sia uguale a meno -1 (condizione di perpendicolarità tra due rette)

m_f m_{r_{BC}}=-1\implies m_f= -\frac{1}{m_{r_{BF}}}

= 2

Quindi la retta del fascio, perpendicolare alla retta r e passante per il punto medio è:

y= 2x+4

Troviamo l'intersezione tra la retta ottenuta e 3x+2y-15=0

\begin{cases}3x+2y-15=0\\ y=2x+4\end{cases}

Per sostituzione:

3x+2(2x+4)-15=0

3x+4x+8-15=0

7x-7=0

x=1

Il punto di intersezione ha coordinate:

A=(1, 6)

Calcoliamo la distanza tra A è il punto medio:

AM= \sqrt{(1+2)^2+6^2}= \sqrt{45}= 3\sqrt{5}

Bene abbiamo la base, l'altezza, possiamo calcolare l'area:

A=\frac{BC\times AM}{2}= \frac{2\sqrt{5}\times 3\sqrt{5}}{2}= 15
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, frank094, yasmab, Bustedd

Calcolo area triangolo isoscele con le coordinate dei vertici #10419

avt
Bustedd
Cerchio
Scusami Ifrit, non ho più loggato ;\!

Grazie mille dell'aiuto! emt
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Os