Scomporre trinomio con regola del trinomio particolare

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Scomporre trinomio con regola del trinomio particolare #99435

avt
FAQ
Punto
Ho bisogno di una mano per scomporre un polinomio di secondo grado in fattori irriducibili. Il mio professore ha suggerito di usare la regola del trinomio notevole che però io non ricordo. Potreste spiegarmi come fare?

Esprimere il seguente polinomio come prodotto di fattori irriducibili.

x^2-9x+8

Grazie mille.
 
 

Scomporre trinomio con regola del trinomio particolare #99447

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo il trinomio

x^2-9x+8

Il nostro compito consiste di avvalerci dell'opportuna tecnica di scomposizione per esprimerlo come prodotto di polinomi di grado inferiore.

Ad un attento esame, dovrebbe essere lampante che esso si possa fattorizzare con la regola per i trinomi notevoli.

Prima di svolgere qualsiasi passaggio, effettuiamo una breve parentesi teorica. Se riusciamo a determinare due numeri A\ \mbox{e} \ B tali che la loro somma sia uguale al coefficiente di x e il loro prodotto coincida con il termine noto del polinomio x^2+sx+p, questi si scompone con la regola:

x^2+sx+p=(x+A)(x+B)

Attenzione! Questa regola vale esclusivamente se il coefficiente di x^2 è uguale a 1.

Alla luce di ciò, analizziamo il polinomio

x^2-9x+8

Poiché il coefficiente di x^2 (coefficiente direttivo) è uguale a 1 usiamo la regola per i trinomi notevoli: tentiamo di determinare due numeri A \ \mbox{e} \ B tali che la loro somma coincide con il coefficiente di x e il loro prodotto è uguale al termine noto, ossia

A+B=-9 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ A\cdot B=8

Proprio perché il prodotto è positivo (A\cdot B=8), \ A\ \mbox{e} \ B devono essere necessariamente numeri concordi (sono entrambi positivi oppure entrambi negativi). Dalla negatività della loro somma (A+B=-9) deduciamo inoltre che i due numeri sono negativi.

Per determinare A \ \mbox{e} \ B, scriviamo tutte le coppie di numeri interi negativi il cui prodotto è 8

(-8,\ -1) \ \ \ , \ \ \ (-4, - 2) \ \ \ , \ \ \ (- 2, \ -4) \ \ \ , \ \ \ (-1, \ -8)

ed eliminiamo quelle formate dai numeri la cui somma sia diversa da -9

(-8, \ -1) \ \ \ ,\ \ \ (-1, \ -8)

Ecco! Le coppie sopravvissute hanno per componenti i valori da attribuire ad A\ \mbox{e a} \ B:

A=-8 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ B=-1 \ \ \ (\mbox{oppure} \ \ \ A=-1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ B=-8)

che, sostituiti nella regola di scomposizione, consentono di scrivere la seguente relazione:

x^2-9x+8=(x+(-8))(x+(-1))=(x-8)(x-1)

Abbiamo finito.
Ringraziano: r4v3n
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Os