Sviluppo di una somma per differenza con esponenti letterali

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Sviluppo di una somma per differenza con esponenti letterali #99326

avt
FAQ
Punto
Mi è capitato un esercizio sui prodotti notevoli che non sono in grado di svolgere. Mi viene chiesto di calcolare il prodotto tra due binomi a esponenti letterali, usando i prodotti notevoli. Ho capito che devo utilizzare la regola sul prodotto di una somma per una differenza, però il risultato che ottengo è sbagliato.

Usare i prodotti notevoli per semplificare la seguente espressione:

(-x^{n+1}-y^{n})(y^{n}-x^{n+1}) \ \ \ \mbox{con} \ n\ge 0

Grazie mille.
Ringraziano: Ifrit
 
 

Sviluppo di una somma per differenza con esponenti letterali #99327

avt
Ifrit
Ambasciatore
Per semplificare l'espressione letterale

(-x^{n+1}-y^{n})(y^{n}-x^{n+1}) \ \ \ \mbox{con} \ n\ge 0

possiamo usare il prodotto notevole

(A+B)(A-B)=A^2-B^2

il quale stabilisce che il prodotto tra la somma e la differenza di due monomi si esprime come la differenza tra il quadrato del primo monomio e il quadrato del secondo.

In questa circostanza bisogna mettere in chiaro chi ricopre il ruolo di A e chi il ruolo di B: per comprenderlo è sufficiente esprimere il prodotto iniziale nella seguente forma

(-x^{n+1}-y^{n})(-x^{n+1}+y^{n}) \ \ \ \mbox{con} \ n\ge 0

e notare che esso non è altro che il prodotto tra la somma dei monomi -x^{n+1}\ \mbox{e} \ y^{n} per la loro differenza, deducendo così che il primo termine è -x^{n+1}, mentre il secondo è y^{n}. Grazie alla formula sul prodotto di una somma per una differenza, siamo autorizzati a scrivere quanto segue:

(-x^{n+1}-y^{n})(-x^{n+1}+y^{n}) =(-x^{n+1})^2-(y^{n})^2=

Da qui in poi è solo una mera questione di calcoli: applichiamo le proprietà delle potenze, in particolare la regola sulla potenza di una potenza per poter esplicitare le potenze dei monomi, e scriviamo il risultato

=x^{(n+1)\cdot 2}- y^{n\cdot 2}=x^{2n+2}-y^{2n}

L'esercizio è concluso!
Ringraziano: Galois
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Os