Calcolo di un prodotto tra somma e differenza di monomi

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Calcolo di un prodotto tra somma e differenza di monomi #99265

avt
FAQ
Frattale
Dovrei usare la regola sul prodotto della somma di due monomi per la loro differenza per semplificare un'espressione letterale. L'espressione è semplice, però non riesco proprio a comprendere come risolvere il problema.

Utilizzare l'opportuno prodotto notevole per calcolare il prodotto:

\left(-\frac{1}{3}x^3+y^2\right)\left(-\frac{1}{3}x^3- y^2\right)

Grazie mille.
Ringraziano: Omega, Ifrit
 
 

Calcolo di un prodotto tra somma e differenza di monomi #99309

avt
Ifrit
Amministratore
L'espressione letterale a coefficienti fratti

\left(-\frac{1}{3}x^3+y^2\right)\left(-\frac{1}{3}x^3- y^2\right)

si semplifica agilmente se applichiamo il prodotto notevole:

(A+B)(A-B)=A^2-B^2

Esso afferma che il prodotto tra la somma e la differenza di due monomi coincide con la differenza tra il quadrato del primo monomio e il quadrato del secondo.

Osserviamo che, nel caso in esame

\left(-\frac{1}{3}x^3+y^2\right)\left(-\frac{1}{3}x^3- y^2\right)

è il prodotto tra la somma e la differenza dei monomi -\frac{1}{3}x^3 \  \mbox{e} \ y^2, di conseguenza siamo autorizzati a scrivere:

\left(-\frac{1}{3}x^3+y^2\right)\left(-\frac{1}{3}x^3- y^2\right)=\left(-\frac{1}{3}x^3\right)^2-(y^2)^2=

Avvaliamoci delle proprietà delle potenze per poter calcolare le potenze dei monomi:

=\left(-\frac{1}{3}\right)^2\cdot (x^3)^2-(y^2)^2=\frac{1}{9}x^{3\cdot 2}-y^{2\cdot 2}=\frac{1}{9}x^6-y^4

L'esercizio è terminato! Per controllarne la correttezza, eseguiamo il prodotto tra i polinomi con la definizione standard

\\ \left(-\frac{1}{3}x^3+y^2\right)\left(-\frac{1}{3}x^3-y^2\right)=\\ \\ \\ =\left(-\frac{1}{3}x^3\right)^2+\left(-\frac{1}{3}x^3\right)\cdot\left(-y^2\right)+y^2\cdot\left(-\frac{1}{3}x^3\right)-(y^2)^2=

Eseguiamo le operazioni con i monomi, usando come si deve la regola dei segni, e scriviamo il risultato:

=\frac{1}{9}x^6+\frac{1}{3}x^3y^2-\frac{1}{3}x^3 y^2-y^4=\frac{1}{9}x^6-y^4

Chiaramente i due risultati devono coincidere, in caso contrario c'è certamente un errore nello svolgimento.
Ringraziano: oddoneluca, GabrieleColosimo
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