Calcolare la divisione tra due polinomi con Ruffini

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Calcolare la divisione tra due polinomi con Ruffini #99164

avt
Gau
Punto
Non riesco a svolgere la divisione tra un polinomio e un binomio di primo grado con la regola di Ruffini, perché il coefficiente di x del divisore non è 1. Ho letto la parte teorica del libro, però non ho capito come procedere.

Svolgere la seguente divisione polinomiale con la regola di Ruffini.

(-6x^3+2x^2-3x+4):(-3x+1)

Grazie!
 
 

Calcolare la divisione tra due polinomi con Ruffini #99192

avt
Omega
Amministratore
Prima di svolgere la divisione polinomiale

(-6x^3+2x^2-3x+4):(-3x+1)

avvalendoci della regola di Ruffini, dobbiamo necessariamente effettuare un breve preambolo di carattere teorico.

Il metodo di Ruffini può essere usato per calcolare quoziente e resto di una divisione polinomiale che si presenta in una forma molto particolare: il dividendo è un polinomio di grado maggiore o uguale a 1, ordinato secondo le potenze decrescenti dell'indeterminata e espresso in forma completa; il divisore è un binomio di primo grado 1, il cui coefficiente di x è unitario. In simboli matematici, la divisione deve essere nella forma

N(x):(x-c)

dove N(x) è un polinomio di grado maggiore o uguale a 1.

Se il coefficiente di x nel divisore è diverso da 1 (e da 0), è necessario svolgere un semplice passaggio algebrico che consente di esprimere il dividendo e il divisore nella forma richiesta dal metodo.

Se la divisione polinomiale si presenta nella forma

N(x):(ax-c) \ \ \ \mbox{con} \ a\ne 0, \ 1

bisogna dividere ciascun termine del dividendo e del divisore per a ricavando così la nuova divisione polinomiale

\frac{N(x)}{a}:\left(x-\frac{c}{a}\right)

Si può dimostrare abbastanza facilmente che le due divisioni condividono il medesimo quoziente, mentre il resto della prima è uguale al prodotto tra a e il resto della seconda.

Ricapitolando: indicati con Q_1(x)\ \mbox{e} \ R_1(x) rispettivamente il quoziente e il resto della divisione N(x):(ax-c) e Q_2(x) \ \mbox{e} \ R_2 rispettivamente il quoziente e il resto della divisione \frac{N(x)}{a}:\left(x-\frac{c}{a}\right) allora:

- il quoziente Q_1(x) coincide con Q_2(x):

Q_1(x)=Q_2(x)

- il resto R_1(x) è uguale al prodotto tra a e R_2(x):

R_1(x)=a\cdot R_2(x)

Poiché il divisore della divisione

\frac{N(x)}{a}:\left(x-\frac{c}{a}\right)

è un binomio di primo grado con coefficiente di x pari a 1, siamo autorizzati a usare la regola di Ruffini per ricavare il quoziente, che coincide con il quoziente della divisione originaria, e il resto, mediante il quale possiamo ricavare quello della divisione originaria moltiplicandolo per a.

Alla luce di queste riflessioni, determiniamo il quoziente e il resto della divisione

(-6x^3+2x^2-3x+4):(-3x+1)

Dividiamo ciascun termine del dividendo e del divisore per -3

\left(\frac{-6}{-3}x^3+\frac{2}{-3}x^2-\frac{3}{-3}x+\frac{4}{-3}\right):\left(\frac{-3}{-3}x+\frac{1}{-3}\right)

e riduciamo le frazioni ai minimi termini

\left(2x^3-\frac{2}{3}x^2+x-\frac{4}{3}\right):\left(x-\frac{1}{3}\right)

Ci siamo ricondotti a una divisione che può essere risolta con la tabella di Ruffini, mediante la quale ricaveremo il quoziente Q_2(x) e il resto R_2(x).

Scriviamo in riga i coefficienti del dividendo, dopodiché anteponiamo una linea verticale al coefficiente di x^3 e un'altra poco prima del termine noto, infine tracciamo una riga orizzontale:

\begin{array}{c|ccccc|c}&2&&-\frac{2}{3}&&1&-\frac{4}{3}\\ &&&&&&\\ &&&&&&\\ \hline &&&&&&\end{array}

Il primo elemento della seconda riga è il termine noto del divisore, cambiato di segno, ossia \frac{1}{3}

\begin{array}{c|ccccc|c}&2&&-\frac{2}{3}&&1&-\frac{4}{3}\\ &&&&&&\\ \frac{1}{3}&&&&&&\\ \hline &&&&&&\end{array}

Trasportiamo il 2 sotto la linea orizzontale

\begin{array}{c|ccccc|c}&2&&-\frac{2}{3}&&1&-\frac{4}{3}\\ &&&&&&\\ \frac{1}{3}&&&&&&\\ \hline &2&&&&&\end{array}

moltiplichiamolo per \frac{1}{3} e incolonniamo il risultato al di sotto di -\frac{2}{3}

\begin{array}{c|ccccc|c}&2&&-\frac{2}{3}&&1&-\frac{4}{3}\\ &&&&&&\\ \frac{1}{3}&&&\frac{2}{3}&&&\\ \hline &2&&&&&\end{array}

Addizioniamo -\frac{2}{3} \ \mbox{e} \ \frac{2}{3} e scriviamo la somma sotto la linea orizzontale

\begin{array}{c|ccccc|c}&2&&-\frac{2}{3}&&1&-\frac{4}{3}\\ &&&&&&\\ \frac{1}{3}&&&\frac{2}{3}&&&\\ \hline &2&&0&&&\end{array}

Moltiplichiamo 0\ \mbox{per} \ \frac{1}{3} e incolonniamo il prodotto sotto l'1

\begin{array}{c|ccccc|c}&2&&-\frac{2}{3}&&1&-\frac{4}{3}\\ &&&&&&\\ \frac{1}{3}&&&\frac{2}{3}&&0&\\ \hline &2&&0&&&\end{array}

Eseguiamo l'addizione tra 1 e 0 e incolonniamo la somma

\begin{array}{c|ccccc|c}&2&&-\frac{2}{3}&&1&-\frac{4}{3}\\ &&&&&&\\ \frac{1}{3}&&&\frac{2}{3}&&0&\\ \hline &2&&0&&1&\end{array}

Ultimo giro di giostra: moltiplichiamo \frac{1}{3}\ \mbox{per} \ 1, riportiamo il prodotto sotto -\frac{4}{3} e addizioniamo:

\begin{array}{c|ccccc|c}&2&&-\frac{2}{3}&&1&-\frac{4}{3}\\ &&&&&&\\ \frac{1}{3}&&&\frac{2}{3}&&0&\frac{1}{3}\\ \hline &2&&0&&1&-1\end{array}

Completata la tabella, possiamo ricavare il quoziente e il resto della divisione

\left(2x^3-\frac{2}{3}x^2+x-\frac{4}{3}\right):\left(x-\frac{1}{3}\right)

infatti i termini della terza riga che giacciono tra le linee verticali rappresentano i coefficienti del quoziente ordinati secondo le potenze decrescenti dell'incognita:

Q_2(x)=2x^2+0x+1= 2x^2+1

L'ultimo elemento della terza riga rappresenta invece il resto:

R_2(x)=-1

In accordo con quanto detto nel preambolo teorico, possiamo concludere che il quoziente e il resto della divisione

(-6x^3+2x^2-3x+4):(-3x+1)

valgono rispettivamente

\\ Q_1(x)=Q_2(x)=2x^2+1 \\ \\ \mbox{e} \\ \\ R_1(x)=-3\cdot R_2(x)=-3\cdot(-1)=3

Per verificare la correttezza dell'esercizio, controlliamo che sia vera l'uguaglianza

(2x^2+1)\left(-3x+1\right)+3=-6x^3+2x^2-3x+4

Sviluppiamo il prodotto tra i polinomi a sinistra

=-6x^3+2x^2-3x+1+3=

e sommiamo i monomi simili

=-6x^3+2x^2-3x+4

Poiché il risultato coincide con il dividendo, deduciamo l'esercizio è svolto in maniera corretta.
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