Equazione goniometrica elementare con tangente e valore non notevole

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Equazione goniometrica elementare con tangente e valore non notevole #98934

avt
feddy
Cerchio
Mi serve il vostro aiuto per risolvere un'equazione goniometrica elementare in tangente, in cui dovrebbe intervenire l'arcotangente. Purtroppo non sono molto avvezzo alle funzioni goniometriche inverse e non so esattamente come muovermi.

Individuare tutti i valori di x che soddisfano l'equazione goniometrica:

\tan(x)+2=0

Grazie mille.
Ringraziano: Galois
 
 

Equazione goniometrica elementare con tangente e valore non notevole #99040

avt
Galois
Coamministratore
Il nostro obiettivo consiste nel determinare i valori da attribuire all'incognita x che soddisfano l'equazione goniometrica:

\tan(x)+2=0

Prima di avventurarci con i passaggi algebrici, è opportuno imporre le condizioni di esistenza: affinché la tangente sia ben posta, dobbiamo richiedere che il suo argomento sia diverso da \frac{\pi}{2}+k\pi, ossia:

C.E.\ : \ x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi

dove k è un numero intero.

Note le condizioni sotto cui l'equazione è ben posta, svolgiamo i passaggi algebrici che consentono di esprimerla in forma canonica. Non che ci voglia molto, a dire il vero: basta portare al secondo membro 2, cambiandogli il segno.

\tan(x)=-2

Il metodo di risoluzione prevede di fare riferimento alla definizione geometrica di tangente di un angolo. Innanzitutto consideriamo un sistema di assi coordinati OXY in cui disegniamo la circonferenza goniometrica.

Dopo aver tracciato la retta tangente alla circonferenza nel punto (1,0) (ha equazione X=1). Su tale retta, consideriamo il punto di ordinata -2 e rappresentiamo la retta che lo congiunge con l'origine.

Essa forma con l'asse delle ascisse positive due angoli orientati in senso antiorario che sono soluzioni dell'equazione, riferite all'intervallo 0\le x<2\pi.

Purtroppo -2 non è un valore noto della tangente per cui è necessario usare la sua inversa: l'arcotangente. In accordo con la teoria, gli angoli che soddisfano l'equazione, riferiti all'intervallo 0\le x < 2\pi, sono:

x=\pi-\arctan(2)\ \ \ \vee \ \ \ x=2\pi-\arctan(2)

Esercizi equazioni goniometriche elementari 14

Ricordando che la tangente è una funzione periodica con periodo T=\pi, siamo autorizzati a scegliere uno dei due valori ottenuti e indicarlo come soluzione base, o rappresentante delle soluzioni, e con il quale ricavare tutte le altre aggiungendogli k\pi, con k\in\mathbb{Z}.

A titolo di esempio, scegliamo come rappresentante \pi-\arctan(2) cosicché le soluzioni dell'equazione data siano espresse nella forma:

x=\pi-\arctan(2)+k\pi

dove k è un parametro che varia nell'insieme dei numeri interi. Abbiamo finito.
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