Prodotto tra somma e differenza di due monomi con numeri decimali

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Prodotto tra somma e differenza di due monomi con numeri decimali #98760

avt
FAQ
Frattale
Ho bisogno di un chiarimento circa un esercizio sul prodotto tra due binomi a coefficienti decimali, uno dei quali periodico, da calcolare con la regola sul prodotto della somma di due monomi per la loro differenza. Il mio problema risiede proprio nella mia incapacità di gestire i coefficienti decimali. Potreste aiutarmi per favore?

Usare la regola sul prodotto della somma di due monomi per la loro differenza per semplificare la seguente espressione letterale:

(0,1x+0, bar1y)(0,1x-0, bar1y)

Grazie.
 
 

Prodotto tra somma e differenza di due monomi con numeri decimali #98770

avt
Ifrit
Amministratore
Prima di eseguire qualunque passaggio algebrico sull'espressione letterale

(0,1x+0, bar1y)(0,1x-0, bar1y)

bisogna esprimere i numeri decimali, 0,1 e 0, bar1, nelle rispettive frazioni generatrici.

La frazione generatrice associata al numero decimale limitato 0,1 è la frazione avente per numeratore l'intero numero senza la virgola e per denominatore un uno seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali (in questo caso 1):

0,1 = (1)/(10)

La frazione generatrice associata al numero periodico semplice 0, bar1 è quella frazione che ha al numeratore il numero dato senza virgola, e al denominatore tanti nove quante sono le cifre che formano il periodo (in questo caso 1):

0, bar1 = (1)/(9)

A questo punto riportiamo le frazioni al posto dei numeri decimali nell'espressione iniziale

(0,1x+0, bar1y)(0,1x-0, bar1y) = ((1)/(10)x+(1)/(9)y)((1)/(10)x-(1)/(9)y)

ed eseguiamo la moltiplicazione tra i due binomi usando la regola sul prodotto della somma per la differenza di due monomi:

(A+B)(A-B) = A^2-B^2

Essa stabilisce che il prodotto tra la somma per la differenza dei monomi A e B è uguale alla differenza tra il quadrato del primo termine e il quadrato del secondo. Grazie a questa semplice regola, possiamo scrivere la seguente uguaglianza:

((1)/(10)x+(1)/(9)y)((1)/(10)x-(1)/(9)y) = ((1)/(10)x)^2-((1)/(9)y)^2 =

Calcoliamo le potenze dei due monomi sfruttando a dovere le proprietà delle potenze

= ((1)/(10))^2x^2-((1)/(9))^2y^2 =

Esplicitiamo le potenze delle frazioni (1)/(10) e (1)/(9) e riportiamo il risultato

= (1)/(100)x^2-(1)/(81)y^2

L'esercizio è concluso! Per controllarne la correttezza, usiamo la definizione di moltiplicazione tra polinomi e confrontiamo i risultati: se coincidono, abbiamo risolto il problema senza errori.

((1)/(10)x+(1)/(9)y)((1)/(10)x-(1)/(9)y) = ((1)/(10)x)^2+(1)/(10)x·(-(1)/(9)y)+(1)/(9)y·(1)/(10)x-((1)/(9)y)^2 =

Eseguiamo le operazioni con i monomi, applicando come si deve la regola dei segni

= (1)/(100)x^2-(1)/(90)xy+(1)/(90)xy-(1)/(81)y^2 =

e, una volta cancellati i monomi opposti, riportiamo il risultato

= (1)/(100)x^2-(1)/(81)y^2

Poiché i due procedimenti conducono al medesimo risultato, possiamo concludere che l'esercizio è stato volto correttamente.
Ringraziano: Omega
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Os