Sistema lineare 2x2 con sostituzione, confronto, riduzione e Cramer

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Sistema lineare 2x2 con sostituzione, confronto, riduzione e Cramer #98204

avt
FAQ
Punto
Avrei bisogno di una mano per risolvere un sistema lineare di due equazioni in due incognite con tutti i metodi possibili (metodo di sostituzione, metodo del confronto, metodo di riduzione, metodo di Cramer). È la prima volta che affronto questa tipologia di esercizi e ad essere sinceri, non so proprio come approcciarmi.

Determinare le eventuali soluzioni del sistema lineare di due equazioni in due incognite utilizzando: il metodo di sostituzione; il metodo del confronto; il metodo di riduzione; il metodo di Cramer

\begin{cases}3x-4y=6\\ \\ 3x-y=3\end{cases}

Grazie.
 
 

Sistema lineare 2x2 con sostituzione, confronto, riduzione e Cramer #98205

avt
Ifrit
Ambasciatore
Prima di cercare le eventuali soluzioni del sistema lineare

\begin{cases}3x-4y=6\\ \\ 3x-y=3\end{cases}

è opportuno notare che esso è già espresso in forma normale: osserviamo infatti che sia le incognite al primo membro che i termini noti al secondo sono incolonnati a dovere.

Il testo parla chiaro: dobbiamo utilizzare i quattro metodi risolutivi standard. Noi utilizzeremo prima di tutto il metodo di sostituzione.

Esso prevede di isolare un'incognita in una delle due equazioni, scegliendo se possibile l'incognita che ha per coefficiente +1 oppure -1. In questo caso conviene isolare y nella seconda equazione

\begin{cases}3x-4y=6 \\ \\ -y=3-3x\end{cases}

da cui

\begin{cases}3x-4y=6 \\ \\ y=3x-3\end{cases}

A questo punto, sostituiamo 3x-3 al posto di y nella prima equazione così da renderla un'equazione di primo grado nella sola incognita x

\begin{cases}3x-4(3x-3)=6\\ \\ y=3x-3\end{cases}

Svolgiamo il prodotto così da sbarazzarci delle parentesi tonde, dopodiché sommiamo tra loro i termini simili

\\ \begin{cases}3x-12x+12=6\\ \\ y=3x-3\end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}-9x=-6\\ \\ y=3x-3\end{cases}

Dalla prima equazione ricaviamo il valore dell'incognita x, il quale va poi sostituito nella seconda

\begin{cases}x=\dfrac{2}{3}\\ \\ y=3\cdot\dfrac{2}{3}-3\end{cases}

Una volta svolti i semplici passaggi algebrici ricaviamo la soluzione del sistema

\begin{cases}x=\dfrac{2}{3}\\ \\ y=-1\end{cases}

Possiamo affermare che l'unica coppia ordinata che soddisfa il sistema è:

(x,y)=\left(\dfrac{2}{3},-1\right)

pertanto il sistema è determinato.



Risolviamo il medesimo sistema lineare con il metodo del confronto. In parole semplici, dovremo isolare al primo membro la medesima incognita in entrambe le equazioni: abbiamo possibilità di scelta, non importa se isoleremo x oppure y, ricaveremo in ogni caso la stessa soluzione.

Isoliamo ad esempio x, trasportando i termini che non contengono l'incognita scelta al secondo membro

\begin{cases}3x=4y+6\\ \\ 3x=3+y\end{cases}

dopodiché dividiamo i due membri per il coefficiente di x

\begin{cases}x=\dfrac{4y+6}{3} \\ \\ x=\dfrac{3+y}{3}\end{cases}

Poiché i membri di sinistra delle due equazioni sono uguali, devono esserlo anche i membri di destra, di conseguenza siamo autorizzati a scrivere il sistema nella forma

\begin{cases}x=\dfrac{4y+6}{3}\\ \\ \dfrac{4y+6}{3}=\dfrac{3+y}{3}\end{cases}

Lasciamo da parte per il momento la prima equazione e occupiamoci della seconda la quale è praticamente nella sola incognita y, dunque di facile risoluzione. Moltiplichiamo i due membri per 3

\begin{cases}x=\dfrac{4y+6}{3}\\ \\ 4y+6=3+y\end{cases}

e trasportiamo i termini in y a sinistra, mentre le costanti finiscono a destra

\begin{cases}x=\dfrac{4y+6}{3}\\ \\  3y=-3\end{cases}

Dividendo i due membro per 3 ricaviamo il valore da attribuire a y

\begin{cases}x=\dfrac{4y+6}{3}\\ \\ y=-1\end{cases}

Disponendo del valore di una incognita, siamo in grado di determinare l'altra con una semplice sostituzione. In termini più espliciti, sostituiamo -1 a y nella prima equazione

\begin{cases}x=\dfrac{4\cdot(-1)+6}{3}\\ \\ y=-1\end{cases}

Svolgendo i calcoli rimasti, ricaviamo

\begin{cases}x=\dfrac{2}{3}\\ \\ y=-1\end{cases}

Come per il metodo precedente, la coppia ordinata che soddisfa il sistema è

(x,y)=\left(\frac{2}{3}, -1\right)



Risolviamo il sistema sfruttando il metodo di riduzione. Partendo dal sistema

\begin{cases}3x-4y=6\\ \\ 3x-y=3\end{cases}

il primo passo consiste nello scegliere quale incognita "sopprimere": in questo caso specifico, è interessante notare che i coefficienti dell'incognita x sono uguali, pertanto se sottraiamo membro a membro la seconda equazione alla prima, l'incognita verrà eliminata:

\begin{cases}3x-4y=6\\ \\ (3x-y)-(3x-4y)=3-6\end{cases}

da cui

\begin{cases}3x-4y=6\\ \\ 3y=-3 \ \ \ \to \ \ \ y=-1\end{cases}

Rimpiazziamo infine nella prima equazione il valore di y, ricavando così un'equazione di primo grado nella sola incognita x

\begin{cases}3x-4(-1)=6\ \ \ \to \ \ \ x=\dfrac{2}{3}\\ \\ y=-1\end{cases}

Come c'era d'aspettarsi, l'unica soluzione del sistema è la coppia

(x,y)=\left(\frac{2}{3},-1\right)



Risolviamo il sistema mediante il metodo di Cramer che consiste nel considerare la matrice dei coefficienti che si ottiene incolonnando i coefficienti di x lungo la prima colonna e quelli di y lungo la seconda

A=\begin{bmatrix}3&-4\\ 3&-1\end{bmatrix}

Calcoliamo il determinante di A e indichiamolo con D

\\ \mbox{D}=\begin{vmatrix}3&-4\\ 3&-1\end{vmatrix}=3\cdot(-1)-(-4)\cdot 3=\\ \\ \\ =-3+12=9

Il determinante è diverso da zero per cui il sistema è determinato, ammette cioè una sola soluzione. Per determinarla, calcoleremo il determinante dell'incognita x sostituendo la colonna dei termini noti al posto della colonna dei suoi coefficienti

\\ \mbox{D}_{x}=\begin{vmatrix}6&-4\\ 3&-1\end{vmatrix}=6\cdot(-1)-(-4)\cdot 3=\\ \\ \\ =-6+12=6

Allo stesso modo calcoliamo il determinante dell'incognita y, sostituendo i termini noti al posto dei suoi coefficienti:

\\ \mbox{D}_{y}=\begin{vmatrix}3&6\\ 3&3\end{vmatrix}=3\cdot 3-6\cdot 3=\\ \\ \\ = 9-18=-9

Possiamo infine calcolare le componenti della soluzione con le formule di Cramer

\\ x=\frac{\mbox{D}_x}{\mbox{D}}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3} \\ \\ \\ y=\frac{\mbox{D}_{y}}{\mbox{D}}=\frac{-9}{9}=-1

In definitiva, la coppia ordinata

(x,y)=\left(\frac{2}{3}, -1\right)

è l'unica soluzione del sistema.

Abbiamo finito.
Ringraziano: Galois, Erdős
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Os