MCD e mcm di polinomi di grado 3 e 4

Ho bisogno del vostro aiuto per calcolare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo di un gruppo di polinomi che non sono in grado di scomporre. Il mio insegnante mi ha suggerito di procedere con la tecnica del raccoglimento parziale e con la regola sul cubo di un binomio. Potreste farmi vedere come fare?

Dopo aver scomposto i seguenti polinomi in fattori irriducibili, ricavare il loro massimo comune divisore e il loro minimo comune multiplo.



Grazie.

Per calcolare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo dei polinomi



occorre innanzitutto scomporli con le giuste tecniche di scomposizione.

Scomponiamo il polinomio usando il metodo del raccoglimento parziale: raccogliamo tra i primi due addendi e negli ultimi due



dopodiché raccogliamo totalmente il fattore



Osserviamo che è la differenza dei cubi di e, in accordo con il relativo prodotto notevole, ricaviamo:



Si noti che è un falso quadrato irriducibile, per cui abbiamo scomposto completamente il primo polinomio.

Occupiamoci del secondo, ossia di : esso è il cubo del binomio , infatti:

è il cubo di ;

è il cubo di ;

è il triplo prodotto del quadrato di per ;

è il triplo prodotto di per il quadrato di .

In definitiva



Scomponiamo l'ultimo polinomio, usando nuovamente la tecnica del raccoglimento parziale: mettiamo in evidenza tra i primi due addendi e tra gli ultimi due



Mettiamo in evidenza



e infine scomponiamo la differenza dei quadrati di con il prodotto notevole omonimo.



Ora che i polinomi sono espressi come prodotto di fattori irriducibili, possiamo avvalerci delle seguenti regole per portare a termine l'esercizio:

- il massimo comune divisore di due o più polinomi, scomposti in fattori irriducibili, è dato dal prodotto dei fattori comuni, presi una sola volta e con il più piccolo esponente;

- il minimo comune multiplo di due o più polinomi, scomposti in fattori irriducibili, è dato dal prodotto dei fattori comuni e non comuni, presi una sola volta e con il più grande esponente.

In base a quanto scritto, il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo dei polinomi



sono rispettivamente



Ecco fatto!