MCD e mcm di polinomi di grado 3 e 4

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MCD e mcm di polinomi di grado 3 e 4 #98111

avt
FAQ
Punto
Ho bisogno del vostro aiuto per calcolare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo di un gruppo di polinomi che non sono in grado di scomporre. Il mio insegnante mi ha suggerito di procedere con la tecnica del raccoglimento parziale e con la regola sul cubo di un binomio. Potreste farmi vedere come fare?

Dopo aver scomposto i seguenti polinomi in fattori irriducibili, ricavare il loro massimo comune divisore e il loro minimo comune multiplo.

3x^4+3x^3-3x-3 \ \ \ ; \ \ \ x^3-3x^2+3x-1 \ \ \ ; \ \ \ x^3-x^2-x+1

Grazie.
 
 

MCD e mcm di polinomi di grado 3 e 4 #98113

avt
Ifrit
Amministratore
Per calcolare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo dei polinomi

3x^4+3x^3-3x-3 \ \ \ ; \ \ \ x^3-3x^2+3x-1 \ \ \ ; \ \ \ x^3-x^2-x+1

occorre innanzitutto scomporli con le giuste tecniche di scomposizione.

Scomponiamo il polinomio 3x^4+3x^3-3x-3 usando il metodo del raccoglimento parziale: raccogliamo 3x^3 tra i primi due addendi e -3 negli ultimi due

3x^4+3x^3-3x-3=3x^3(x+1)-3(x+1)=

dopodiché raccogliamo totalmente il fattore x+1

=(x+1)(3x^3-3)=3(x+1)(x^3-1)=

Osserviamo che x^3-1 è la differenza dei cubi di x\ \mbox{e} \ 1 e, in accordo con il relativo prodotto notevole, ricaviamo:

=3(x+1)(x-1)(x^2+x+1)

Si noti che x^2+x+1 è un falso quadrato irriducibile, per cui abbiamo scomposto completamente il primo polinomio.

Occupiamoci del secondo, ossia di x^3-3x^2+3x-1: esso è il cubo del binomio x-1, infatti:

\bullet \ \ \ x^3 è il cubo di x;

\bullet \ \ \ -1 è il cubo di -1;

\bullet \ \ \ -3x^2 è il triplo prodotto del quadrato di x per -1;

\bullet \ \ \ 3x è il triplo prodotto di x per il quadrato di -1.

In definitiva

x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3

Scomponiamo l'ultimo polinomio, usando nuovamente la tecnica del raccoglimento parziale: mettiamo in evidenza x^2 tra i primi due addendi e -1 tra gli ultimi due

x^3-x^2-x+1=x^2(x-1)-(x-1)=

Mettiamo in evidenza x-1

=(x-1)(x^2-1)=

e infine scomponiamo la differenza dei quadrati di x\ \mbox{e} \ 1 con il prodotto notevole omonimo.

=(x-1)(x-1)(x+1)=(x-1)^2(x+1)

Ora che i polinomi sono espressi come prodotto di fattori irriducibili, possiamo avvalerci delle seguenti regole per portare a termine l'esercizio:

- il massimo comune divisore di due o più polinomi, scomposti in fattori irriducibili, è dato dal prodotto dei fattori comuni, presi una sola volta e con il più piccolo esponente;

- il minimo comune multiplo di due o più polinomi, scomposti in fattori irriducibili, è dato dal prodotto dei fattori comuni e non comuni, presi una sola volta e con il più grande esponente.

In base a quanto scritto, il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo dei polinomi

3x^4+3x^3-3x-3=3(x+1)(x-1)(x^2+x+1) \\ \\ x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3 \\ \\ x^3-x^2-x+1=(x-1)^2(x+1)

sono rispettivamente

\\ MCD=x-1 \ \ \ ; \ \ \ mcm=3(x-1)^3 (x+1)(x^2+x+1)

Ecco fatto!
Ringraziano: Pi Greco, Galois
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Os