Esercizio calcolo del cubo di un binomio

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Esercizio calcolo del cubo di un binomio #98084

avt
antomarc
Punto
Mi servirebbe il vostro aiuto per sviluppare il cubo di un binomio a coefficienti fratti. So come si usa il prodotto notevole, però non riesco a gestire come si deve il coefficiente fratto.

Calcolare il seguente cubo di binomio

\left(\frac{1}{2}x-2\right)^3

Grazie.
 
 

Esercizio calcolo del cubo di un binomio #98088

avt
lucabald
Punto
Per sviluppare il cubo di binomio

\left(\frac{1}{2}x-2\right)^3

possiamo tranquillamente utilizzare il prodotto notevole omonimo, ossia:

(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3

Esso consente di esprimere il cubo della somma di due termini come la somma tra il cubo del primo termine, il triplo prodotto tra il primo termine al quadrato per il secondo, il triplo prodotto tra il primo per il quadrato del secondo e il cubo del secondo termine.

Si noti che la base del cubo è a ben vedere la differenza di due termini, ossia:

\frac{1}{2}x \ \ \ \mbox{e} \ \ \ 2

però possiamo interpretarla come somma algebrica e rivedere il cubo nella forma

\left(\frac{1}{2}x+(-2)\right)^3

così da mettere in chiaro che il primo termine è \frac{1}{2}x e il secondo è -2. In base alla regola, scriviamo l'uguaglianza:

\left(\frac{1}{2}x+(-2)\right)^3=\left(\frac{1}{2}x\right)^3+3\cdot\left(\frac{1}{2}x\right)^2\cdot (-2)+3\cdot\left(\frac{1}{2}x\right)\cdot (-2)^2+(-2)^3=

Calcoliamo le potenze delle frazioni, applicando le proprietà delle potenze, e sviluppiamo i prodotti usando a dovere la regola dei segni:

=\frac{1}{8}x^3+3\cdot\frac{1}{4}x^2\cdot(-2)+3\cdot\frac{1}{2}x\cdot 4-8=

Riduciamo le frazioni ai minimi termini e scriviamo il risultato

=\frac{1}{8}x^3-\frac{3}{2}x^2+6x-8

In conclusione, possiamo affermare che lo sviluppo del cubo di \frac{1}{2}x-2 è:

\left(\frac{1}{2}x-2\right)^3=\frac{1}{8}x^3-\frac{3}{2}x^2+6x-8

Ecco fatto.
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