Esercizio divisione tra polinomi con frazioni e Ruffini

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Esercizio divisione tra polinomi con frazioni e Ruffini #97905

avt
Olv~
Punto
Mi servirebbe una mano per determinare il quoziente e il resto di una divisione tra polinomi a coefficienti fratti, usando la regola di Ruffini. Ho capito come si imposta la tabella, però riscontro alcune difficoltà nei calcoli.

Usare la regola di Ruffini per calcolare il quoziente e il resto della seguente divisione polinomiale

\left(x^3+2x^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}\right):\left(x+\frac{3}{2}\right)

Grazie.
 
 

Esercizio divisione tra polinomi con frazioni e Ruffini #97931

avt
Ifrit
Ambasciatore
L'esercizio sta chiedendoci di svolgere la divisione tra polinomi

\left(x^3+2x^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}\right):\left(x+\frac{3}{2}\right)

usando la regola di Ruffini. Per semplicità di esposizione, indichiamo con N(x)\ \mbox{e} \ D(x) rispettivamente il polinomio dividendo e il polinomio divisore

\\ N(x)=x^3+2x^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2} \\ \\ \mbox{e} \\ \\ D(x)=x+\frac{3}{2}

e osserviamo quanto segue:

- il dividendo N(x) è sia un polinomio ordinato rispetto alle potenze decrescenti di x, sia un polinomio completo;

- il divisore D(x) è un binomio di primo grado, con coefficiente del termine di grado massimo pari a 1.

Sono quindi soddisfatti tutti i requisiti per il calcolo del quoziente Q(x) e il resto R con la regola di Ruffini!

Disponiamo i coefficienti del dividendo in riga, uno di seguito all'altro, anteponiamo una riga verticale al primo termine, tracciamone una seconda poco prima del termine noto e infine disegniamo una riga orizzontale, ottenendo qualcosa di simile alla seguente tabella:

\begin{array}{c|ccccc|c}&1&&2&&-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\\&&&&&&\\&&&&&&\\ \hline &&&&&&\end{array}

Una volta inserito il termine noto del divisore, cambiato di segno, come primo elemento della seconda riga

\begin{array}{c|ccccc|c}&1&&2&&-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\\&&&&&&\\-\frac{3}{2}&&&&&&\\ \hline &&&&&&\end{array}

è tutto pronto per innescare il metodo di Ruffini!

Per prima cosa, riportiamo il primo elemento della prima riga al di sotto della linea orizzontale

\begin{array}{c|ccccc|c}&1&&2&&-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\\&&&&&&\\-\frac{3}{2}&&&&&&\\ \hline &1&&&&&\end{array}

moltiplichiamolo per -\frac{3}{2} e incolonniamo il prodotto sotto il numero 2

\begin{array}{c|ccccc|c}&1&&2&&-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\\&&&&&&\\-\frac{3}{2}&&&-\frac{3}{2}&&&\\ \hline &1&&&&&\end{array}

Riportiamo la somma tra 2 \ \mbox{e} \ -\frac{3}{2} sotto la linea orizzontale

\begin{array}{c|ccccc|c}&1&&2&&-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\\&&&&&&\\-\frac{3}{2}&&&-\frac{3}{2}&&&\\ \hline &1&&\frac{1}{2}&&&\end{array}

Continuiamo questo processo fino a riempire completamente la tabella: eseguiamo la moltiplicazione tra le frazioni \frac{1}{2}\ \mbox{e} \ -\frac{3}{2} e incolonniamo il prodotto al di sotto della frazione -\frac{3}{2}

\begin{array}{c|ccccc|c}&1&&2&&-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\\&&&&&&\\-\frac{3}{2}&&&-\frac{3}{2}&&-\frac{3}{4}&\\ \hline &1&&-\frac{1}{2}&&&\end{array}

Addizioniamo le frazioni -\frac{3}{2}\ \mbox{e} \ -\frac{3}{4}, riportando la somma sotto la linea orizzontale

\begin{array}{c|ccccc|c}&1&&2&&-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\\&&&&&&\\-\frac{3}{2}&&&-\frac{3}{2}&&-\frac{3}{4}&\\ \hline &1&&-\frac{1}{2}&&-\frac{9}{4}&\end{array}

Siamo in dirittura di arrivo: moltiplichiamo -\frac{3}{2} per -\frac{9}{4}, riportiamo il loro prodotto sotto \frac{1}{2} e sommiamo.

\begin{array}{c|ccccc|c}&1&&2&&-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\\&&&&&&\\-\frac{3}{2}&&&-\frac{3}{2}&&-\frac{3}{4}&\frac{27}{8}\\ \hline &1&&-\frac{1}{2}&&-\frac{9}{4}&\frac{31}{8}\end{array}

Dalla tabella estrapoliamo il quoziente e il resto: i termini della terza riga che si trovano tra le linee verticali sono i coefficienti del polinomio quoziente, ordinati secondo le potenze decrescenti dell'indeterminata, mentre l'ultimo elemento della riga è il resto:

Q(x)=x^2-\frac{1}{2}x-\frac{9}{4} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ R=\frac{31}{8}

Abbiamo finito!
Ringraziano: Pi Greco, Galois
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Os