Equazione irrazionale fratta con radici pari e dispari

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Equazione irrazionale fratta con radici pari e dispari #97650

avt
Sea82
Punto
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione irrazionale fratta in cui compaiono radici con indici diversi. Il testo stesso suggerisce di procedere per sostituzione però ogni mio tentativo ha portato a una marea di calcoli che non portano da nessuna parte.

Risolvere la seguente equazione irrazionale fratta usando una sostituzione che la renda un'equazione razionale fratta.

\frac{3\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}+3\sqrt[3]{x}}-\frac{2\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}+2\sqrt[3]{x}}=-\frac{1}{4}

Grazie.
Ringraziano: Omega
 
 

Equazione irrazionale fratta con radici pari e dispari #97662

avt
Omega
Amministratore
L'esercizio ci chiede di risolvere l'equazione irrazionale

\frac{3\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}+3\sqrt[3]{x}}-\frac{2\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}+2\sqrt[3]{x}}=-\frac{1}{4}

sfruttando una sostituzione adeguata che permetta di ricondurci a un'equazione razionale fratta. Prima di avventurarci nei calcoli, però, è opportuno guardare con attenzione com'è fatta l'equazione: compaiono sia radici quadrate sia radici cubiche di x.

Per fare in modo che "spariscano" tutti i termini irrazionali, bisogna porre t uguale a un radicale con indice pari al minimo comune multiplo degli indici presenti, vale a dire:

t=\sqrt[6]{x}

Osserviamo che necessariamente x\ge 0 affinché la radice sia ben posta, così come dev'essere positivo o al più nullo t per garantire la condizione di concordanza.

Esprimiamo a questo punto x in funzione di t

x=t^6

da cui grazie alle proprietà dei radicali ricaviamo le seguenti uguaglianze

\\ \sqrt{x}=\sqrt{t^6}=t^{3} \ \ \ \mbox{con} \ t\ge 0 \\ \\ \sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{t^6}=t^2

mediante le quali l'equazione irrazionale diventa

\frac{3t^3-t^2}{t^3+3t^2}-\frac{2t^3+t^2}{t^3+2t^2}=-\frac{1}{4}

Ci siamo ricondotti quindi a un'equazione fratta nell'incognita t. Prima di procedere con i passaggi algebrici che ci permetteranno di esprimerla in forma normale, scomponiamo i polinomi a numeratore e a denominatore raccogliendo totalmente i fattori comuni

\frac{t^2(3t-1)}{t^2(t+3)}-\frac{t^2(2t+1)}{t^2(t+2)}=-\frac{1}{4}

A questo punto imponiamo le condizioni di esistenza: bisogna richiedere che i denominatori contenenti l'incognita siano diversi da zero. Scriviamo quindi

\\ t^2\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ t\ne 0 \\ \\ t+3\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ t\ne -3 \\ \\ t+2\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ t\ne -2

Affinché l'equazione in t sia ben posta, dobbiamo richiedere che l'incognita sottostia ai vincoli:

C.E.:\ t\ne -2 \ \ \wedge \ \ t\ne 0 \ \ \wedge \ \ t\ne -3

dove \wedge è il connettivo logico che indica la congiunzione "e".

Ora siamo autorizzati a semplificare i vari t^2 e ottenere l'equazione

\frac{3t-1}{t+3}-\frac{2t+1}{t+2}=-\frac{1}{4}

Trasportiamo tutti i termini al primo membro

\frac{3t-1}{t+3}-\frac{2t+1}{t+2}+\frac{1}{4}=0

e calcoliamo il minimo comune multiplo dei polinomi a denominatore

\frac{4(t+2)(3t-1)-4(t+3)(2t+1)+(t+3)(t+2)}{4(t+3)(t+2)}=0

Una volta sviluppati i prodotti a numeratore e sommati tra loro i monomi simili, ci troveremo di fronte all'equazione fratta di secondo grado

\frac{5t^2-3t-14}{4(t+3)(t+2)}=0

che, una volta cancellato il denominatore, diventa

5t^2-3t-14=0

Essa è un'equazione di secondo grado con coefficienti

a=5 \ \ \ , \ \ \ b=-3 \ \ \ , \ \ \ c=-14

il cui discriminante associato si ricava con la relazione

\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 5\cdot (-14)=289

e le cui soluzioni sono

\\ t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-3)\pm\sqrt{289}}{2\cdot 5}= \\ \\ \\\ =\frac{3\pm 17}{10}=\begin{cases}\frac{3-17}{10}=-\frac{7}{5}=t_1\\ \\ \frac{3+17}{10}=2=t_2\end{cases}

L'equazione in t è soddisfatta quindi dai due valori

t=-\frac{7}{5} \ \ \ , \ \ \ t=2

Purtroppo l'esercizio non è concluso: dobbiamo ripristinare l'incognita x ricordando la sostituzione fatta. Poiché t=\sqrt[6]{x}, la relazione

t=-\frac{7}{5}

si traduce nella equazione irrazionale

\sqrt[6]{x}=-\frac{7}{5}

che però risulta impossibile perché viene meno la condizione di concordanza: la radice sesta è positiva o al più nulla, il secondo membro è negativo, di conseguenza l'uguaglianza non può sussistere per alcun valore di x.

La relazione

t=2

si traduce invece nell'equazione irrazionale

\sqrt[6]{x}=2

che si risolve elevando alla sesta i due membri

x=2^6 \ \ \ \to \ \ \ x=64

Possiamo quindi concludere che l'equazione

\frac{3\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}+3\sqrt[3]{x}}-\frac{2\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}+2\sqrt[3]{x}}=-\frac{1}{4}

è soddisfatta unicamente per x=64 e il suo insieme soluzione è quindi

S=\{64\}

Abbiamo finito!
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Os