Scomposizione con raccoglimento totale e Ruffini

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Scomposizione con raccoglimento totale e Ruffini #9748

avt
904
Sfera
Mi è capitato un esercizio sulla scomposizione che non sono in grado di portare a termine. Per essere più precisi, ho capito che devo usare il metodo del raccoglimento totale, ma poi mi rimane da fattorizzare un polinomio di terzo grado che probabilmente richiede la regola di Ruffini.

Esprimere il seguente polinomio nel prodotto di fattori irriducibili:

ax^3-8ax^2+ax+42a

Grazie.
 
 

Scomposizione con raccoglimento totale e Ruffini #9752

avt
Ifrit
Ambasciatore
Prima di dedicarci alla scomposizione del polinomio

ax^3-8ax^2+ax+42a

esaminiamo attentamente i suoi termini, vale a dire:

ax^3 \ \ \ , \ \ \ -8ax^2 \ \ \ , \ \ \ +ax \ \ \ , \ \ \ +42a

In ciascuno di essi figura la lettera a, pertanto possiamo operare il suo raccoglimento totale e riscrivere il polinomio

ax^3-8ax^2+ax+42a=

nella seguente forma:

=a(x^3-8x^2+x+42)

Non abbiamo ancora terminato perché il polinomio tra parentesi tonde può essere ulteriormente fattorizzabile: non potendo utilizzare né il raccoglimento totale, né raccoglimento parziale e non essendo utili nemmeno i prodotti notevoli, dobbiamo necessariamente affidarci alla regola di Ruffini.

Prima di innescare il metodo, osserviamo che x^3-8x^2+x+42:

- è un polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti di x;

- è un polinomio completo;

- ha per coefficiente direttivo 1.

Ricordiamo che il metodo di Ruffini necessita di una radice particolare del polinomio che ricerchiamo nella forma \frac{A}{B} dove A è un divisore (con segno) del termine noto, mentre B è un divisore (con segno) del coefficiente del termine di grado massimo.

In questa particolare circostanza, il termine noto è 42 e i suoi divisori formano il seguente insieme

\mbox{Divisori di }42=\{\pm 1, \ \pm 2, \pm 3,\ \pm 6,\ \pm 7, \ \pm 14, \ \pm 21, \ \pm 42\}

Poiché il coefficiente direttivo è pari a 1, i suoi divisori interi sono -1\ \mbox{e}\ 1, pertanto il denominatore della frazione \frac{A}{B} sarà necessariamente -1 o tuttalpiù 1. Questa informazione è fondamentale, perché garantisce il fatto che la radice dovrà essere un divisore (con segno) di 42.

Procedendo per tentativi, una radice che consente di usare la regola è x=3, infatti se sostituiamo x con 3, e svolgiamo i calcoli, il polinomio x^3-8x^2+x+42 si annulla:

\\ 3^3-8\cdot 3^2+3+42=\\ \\ =27-8\cdot 9+3+42=\\ \\ =9-72+3+42= \\ \\ =27-72+3+42=0

Osservazione: vanno bene anche i valori x=-2\ \mbox{e} \ x=7.

In base alla teoria, x^3-8x^2+x+42 si esprime come prodotto tra il binomio (x-3) per il polinomio di secondo grado, avente per coefficienti i numeri che figurano nell'ultima riga della tabella di Ruffini, che in questo caso è:

\begin{array}{c|ccccc|c}&1&&-8&&1&42\\&&&&&&\\3&&&3&&-15&-42 \\ \hline &1&&-5&&-14&//\end{array}

per cui:

x^3-8x^2+x+42=(x-3)(x^2-5x-14)

Non abbiamo ancora terminato: il fattore x^2-5x-14 può essere ulteriormente scomposto usando, ad esempio, la tecnica di scomposizione per i trinomi notevoli.

Andiamo alla ricerca di due numeri N\ \mbox{e}\ M la cui somma è uguale al coefficiente di x, mentre il loro prodotto è uguale al termine noto: ci serviranno per scomporre il trinomio secondo la regola:

x^2+sx+p=(x+N)(x+M)

Nel caso considerato, le condizioni che consentono di ricavare N\ \mbox{e} \M sono:

N+M=-5\ \ \ \mbox{e} \ \ \ N\cdot M=-14

da cui ricaviamo che N=2\ \mbox{e} \ M=-7 (vanno bene anche N=-7\ \mbox{e}\ M=2), pertanto:

x^2-5x-14=(x+2)(x-7)

Finalmente abbiamo a disposizione tutte le informazioni necessarie a concludere l'esercizio: basta, infatti, ripercorrere all'indietro la soluzione e riportare i seguenti passaggi.

\\ ax^3-8ax^2+ax+42a=\\ \\ =a(x^3-8x^2+x+42)= \\ \\ =a(x-3)(x^2-5x-14)=\\ \\ =a(x-3)(x+2)(x-7)

Possiamo mettere un punto all'esercizio.
Ringraziano: Omega, 904
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Os