Sistema lineare di 2 equazioni in due incognite con i 4 metodi

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Sistema lineare di 2 equazioni in due incognite con i 4 metodi #97004

avt
Gigi97
Punto
Ho da poco affrontato i sistemi lineari e nonostante abbia studiato la teoria, non riesco a risolvere gli esercizi. Potreste darmi una mano?

Risolvere il seguente sistema lineare avvalendosi del metodo di sostituzione, del metodo del confronto, del metodo di riduzione e del metodo di Cramer e stabilire in seguito qual è il metodo migliore in termini di calcoli.

\begin{cases}\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{3}y=1 \\ \\ 3x=2y+6\end{cases}

Grazie.
 
 

Sistema lineare di 2 equazioni in due incognite con i 4 metodi #97023

avt
Omega
Amministratore
Iniziamo a risolvere l'esercizio osservando che

\begin{cases}\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{3}y=1 \\ \\ 3x=2y+6\end{cases}

è un sistema lineare di due equazioni in due incognite che non è ancora espresso in forma canonica. Proprio per questo motivo, svolgeremo i passaggi algebrici che consentono di esprimerlo come

\begin{cases}a_{1}x+b_1 y=c_1\\ \\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases}

In termini più espliciti dovremo incolonnare le incognite e i termini noti. La presenza dei coefficienti fratti non facilità di certo il nostro compito, ecco perché sfrutteremo i principi di equivalenza delle equazioni per ottenere un sistema lineare equivalente ma a coefficienti interi.

Per quanto concerne la prima equazione del sistema, calcoleremo il minimo comune multiplo tra i denominatori. Nella seconda equazione, invece, trasporteremo i termini con le incognite a sinistra dell'uguale, lasciando il termine costante a destra.

\begin{cases}\dfrac{3x-2y}{6}=\dfrac{6}{6}\\ \\ 3x-2y=6\end{cases}

Semplifichiamo a questo punto i denominatori della prima equazione che ormai hanno svolto il loro lavoro e scriviamo il sistema nella forma normale

\begin{cases}3x-2y=6 \\ \\ 3x-2y=6\end{cases}

Nota: agli esperti, appare chiaro che il sistema è indeterminato, giacché le due equazioni del sistema sono identiche. Per questioni di stampo didattico useremo comunque i quattro metodi risolutivi per comprendere cosa succede di volta in volta.



Procediamo con il metodo di sostituzione. In buona sostanza isoliamo un'incognita in una delle due equazioni, così da esprimerla in termini delle altre.

A titolo di esempio, isoliamo x nella prima equazione

\begin{cases}3x=2y-6 \ \ \ \to \ \ \ x=\dfrac{2y+6}{3}\\ \\ 3x-2y=6\end{cases}

dopodiché sostituiamo l'espressione ricavata al posto di y nella seconda ricavando così un'equazione di primo grado in una sola incognita (y).

\begin{cases}x=\dfrac{2y+6}{3}\\ \\ 3\cdot\dfrac{2y+6}{3}-2y=6\end{cases}

Semplifichiamo 3 e sommiamo tra loro i termini simili nella seconda equazione

\begin{cases}x=\dfrac{2y+6}{3}\\ \\ 6=6\end{cases}

Abbiamo ottenuto un'identità valida a prescindere dal valore di y. Al variare di tale incognita, x varia secondo la legge

x=\frac{2y+6}{3}

e poiché y varia in \mathbb{R}, possiamo concludere che il sistema è indeterminato, assume cioè infinite soluzioni della forma

(x,y)=\left(\frac{2y+6}{3},y\right)\ \ \ \mbox{per ogni} \ y\in\mathbb{R}



Risolviamo lo stesso sistema lineare avvalendoci del metodo del confronto che consiste nell'isolare la medesima incognita in entrambe le equazioni.

La scelta è dell'incognita è del tutto arbitraria e senza troppe preoccupazioni, prendiamo in considerazione l'incognita x

\\ \begin{cases}3x-2y=6\\ \\ 3x-2y=6\end{cases}

Isolando l'incognita x al primo membro delle due equazioni, ricaviamo

\begin{cases}x=\dfrac{2y+6}{3}\\ \\ x=\dfrac{2y+6}{3}\end{cases}

Poiché i primi due membri sono uguali, lo devono essere anche i secondi

\begin{cases}x=\dfrac{2y+6}{3}\\ \\ \dfrac{2y+6}{3}=\dfrac{2y+6}{3}\end{cases}

Lasciamo da parte la prima e concentriamoci sulla seconda equazione: essa è praticamente un'equazione di primo grado nella sola incognita y. Per risolverla moltiplichiamo i due membri per 3

\begin{cases}x=\dfrac{2y+6}{3}\\ \\ 2y+6=2y+6\end{cases}

dopodiché trasportiamo i termini con l'incognita al primo, quelli senza al secondo

\begin{cases}x=\dfrac{2y+6}{3}\\ \\ 2y-2y=6-6 \ \ \ \to \ \ \ 0=0\end{cases}

La seconda equazione si riduce a un'identità ed è pertanto vera a prescindere dal valore di y. Il valore dell'incognita x varia al variare di y secondo la relazione

x=\frac{2y+6}{3}

di conseguenza il sistema ammette infinite soluzioni date dalle coppie del tipo

(x,y)=\left(\frac{2y+6}{3}, y\right)\ \ \ \mbox{con} \ y\in\mathbb{R}



Risolviamo il sistema con il metodo di riduzione

\begin{cases}3x-2y=6\\ \\ 3x-2y=6\end{cases}

Il primo passo consiste nello scegliere l'incognita da eliminare: la scelta è del tutto arbitraria e non modifica l'insieme delle soluzioni. Scegliamo di sopprimere x sottraendo i membri della seconda equazione per quelli della prima

\begin{cases}3x-2y=6\\ \\ (3x-2y)-(3x-2y)=6-6\end{cases}

da cui ricaviamo il sistema

\begin{cases}3x-2y=6\\ \\ 0=0\end{cases}

La sua seconda equazione è praticamente un'identità, il cui valore di verità non dipende né da x né da y.

Dalla prima equazione possiamo esprimere un'incognita in termini dell'altra, anche in questo caso la scelta è del tutto arbitraria.

\begin{cases}x=\dfrac{2y+6}{3}\\ \\ 0=0\end{cases}

Poiché y è libero di variare sull'insieme dei numeri reali possiamo asserire - nuovamente - che il sistema ammette infinite soluzioni, date dalle coppie

(x,y)=\left(\frac{2y+6}{3}, y\right) \ \ \ \mbox{con} \ y\in\mathbb{R}



Risolviamo infine il sistema mediante il metodo di Cramer. Al sistema lineare espresso in forma normale

\begin{cases}3x-2y=6\\ \\ 3x-2y=6\end{cases}

associamo quella che prende il nome di matrice dei coefficienti, formata incolonnando i coefficienti delle incognite

A=\begin{bmatrix}3&-2\\ 3&-2\end{bmatrix}

dopodiché ne calcoliamo il determinante che indichiamo con \mbox{D}

\mbox{D}=\begin{vmatrix}3&-2\\ 3&-2\end{vmatrix}=3\cdot(-2)-(-2)\cdot 3=0

Osservazione: potevamo dedurre la nullità del determinante notando che i termini delle righe sono uguali.

Poiché il determinante è zero, il sistema è indeterminato oppure impossibile, di certo non è determinato! Per comprendere se ammette infinite soluzioni oppure nessuna, è necessario calcolare sia il determinante associato all'incognita x, sia quello associato all'incognita y.

Con determinante dell'incognita x, indicato con \mbox{D}_x, si intende il determinante della matrice che si ottiene rimpiazzando la colonna dei termini noti al posto della prima colonna dalla matrice A

\mbox{D}_{x}=\begin{vmatrix}6&-2\\6&-2\end{vmatrix}=6\cdot(-2)-(-2)\cdot 6=0

Similmente con determinante dell'incognita y, che indichiamo \mbox{D}_y, si intende il determinante della matrice che si ottiene rimpiazzando la colonna dei termini noti al posto della seconda colonna della matrice dei coefficienti

\mbox{D}_{y}=\begin{vmatrix}3&6\\ 3&6\end{vmatrix}=3\cdot 6-3\cdot 6=0

Poiché \mbox{D}, \ \mbox{D}_{x}\ \mbox{e} \ \mbox{D}_{y} sono tutt'e tre nulli, possiamo affermare che il sistema è indeterminato e fermarci qui: purtroppo in questa eventualità, il metodo di Cramer non consente di esplicitare le (infinite) soluzioni.

Nota: l'esercizio chiede di stabilire qual è il metodo più semplice da usare in questo caso. A conti fatti, i primi tre metodi consentono di esplicitare le infinite soluzioni, mentre il metodo di Cramer ci informa semplicemente del fatto che il sistema è indeterminato.

Esercizio risolto!
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