Sistema lineare di 2 equazioni in due incognite con i 4 metodi

Ho da poco affrontato i sistemi lineari e nonostante abbia studiato la teoria, non riesco a risolvere gli esercizi. Potreste darmi una mano?

Risolvere il seguente sistema lineare avvalendosi del metodo di sostituzione, del metodo del confronto, del metodo di riduzione e del metodo di Cramer e stabilire in seguito qual è il metodo migliore in termini di calcoli.



Grazie.

Iniziamo a risolvere l'esercizio osservando che



è un sistema lineare di due equazioni in due incognite che non è ancora espresso in forma canonica. Proprio per questo motivo, svolgeremo i passaggi algebrici che consentono di esprimerlo come



In termini più espliciti dovremo incolonnare le incognite e i termini noti. La presenza dei coefficienti fratti non facilità di certo il nostro compito, ecco perché sfrutteremo i principi di equivalenza delle equazioni per ottenere un sistema lineare equivalente ma a coefficienti interi.

Per quanto concerne la prima equazione del sistema, calcoleremo il minimo comune multiplo tra i denominatori. Nella seconda equazione, invece, trasporteremo i termini con le incognite a sinistra dell'uguale, lasciando il termine costante a destra.



Semplifichiamo a questo punto i denominatori della prima equazione che ormai hanno svolto il loro lavoro e scriviamo il sistema nella forma normale



Nota: agli esperti, appare chiaro che il sistema è indeterminato, giacché le due equazioni del sistema sono identiche. Per questioni di stampo didattico useremo comunque i quattro metodi risolutivi per comprendere cosa succede di volta in volta.



Procediamo con il metodo di sostituzione. In buona sostanza isoliamo un'incognita in una delle due equazioni, così da esprimerla in termini delle altre.

A titolo di esempio, isoliamo nella prima equazione



dopodiché sostituiamo l'espressione ricavata al posto di nella seconda ricavando così un'equazione di primo grado in una sola incognita .



Semplifichiamo 3 e sommiamo tra loro i termini simili nella seconda equazione



Abbiamo ottenuto un'identità valida a prescindere dal valore di . Al variare di tale incognita, varia secondo la legge



e poiché varia in , possiamo concludere che il sistema è indeterminato, assume cioè infinite soluzioni della forma





Risolviamo lo stesso sistema lineare avvalendoci del metodo del confronto che consiste nell'isolare la medesima incognita in entrambe le equazioni.

La scelta è dell'incognita è del tutto arbitraria e senza troppe preoccupazioni, prendiamo in considerazione l'incognita



Isolando l'incognita al primo membro delle due equazioni, ricaviamo



Poiché i primi due membri sono uguali, lo devono essere anche i secondi



Lasciamo da parte la prima e concentriamoci sulla seconda equazione: essa è praticamente un'equazione di primo grado nella sola incognita . Per risolverla moltiplichiamo i due membri per 3



dopodiché trasportiamo i termini con l'incognita al primo, quelli senza al secondo



La seconda equazione si riduce a un'identità ed è pertanto vera a prescindere dal valore di . Il valore dell'incognita varia al variare di secondo la relazione



di conseguenza il sistema ammette infinite soluzioni date dalle coppie del tipo





Risolviamo il sistema con il metodo di riduzione



Il primo passo consiste nello scegliere l'incognita da eliminare: la scelta è del tutto arbitraria e non modifica l'insieme delle soluzioni. Scegliamo di sopprimere sottraendo i membri della seconda equazione per quelli della prima



da cui ricaviamo il sistema



La sua seconda equazione è praticamente un'identità, il cui valore di verità non dipende né da né da .

Dalla prima equazione possiamo esprimere un'incognita in termini dell'altra, anche in questo caso la scelta è del tutto arbitraria.



Poiché è libero di variare sull'insieme dei numeri reali possiamo asserire - nuovamente - che il sistema ammette infinite soluzioni, date dalle coppie





Risolviamo infine il sistema mediante il metodo di Cramer. Al sistema lineare espresso in forma normale



associamo quella che prende il nome di matrice dei coefficienti, formata incolonnando i coefficienti delle incognite



dopodiché ne calcoliamo il determinante che indichiamo con



Osservazione: potevamo dedurre la nullità del determinante notando che i termini delle righe sono uguali.

Poiché il determinante è zero, il sistema è indeterminato oppure impossibile, di certo non è determinato! Per comprendere se ammette infinite soluzioni oppure nessuna, è necessario calcolare sia il determinante associato all'incognita , sia quello associato all'incognita .

Con determinante dell'incognita , indicato con , si intende il determinante della matrice che si ottiene rimpiazzando la colonna dei termini noti al posto della prima colonna dalla matrice



Similmente con determinante dell'incognita , che indichiamo , si intende il determinante della matrice che si ottiene rimpiazzando la colonna dei termini noti al posto della seconda colonna della matrice dei coefficienti



Poiché sono tutt'e tre nulli, possiamo affermare che il sistema è indeterminato e fermarci qui: purtroppo in questa eventualità, il metodo di Cramer non consente di esplicitare le (infinite) soluzioni.

Nota: l'esercizio chiede di stabilire qual è il metodo più semplice da usare in questo caso. A conti fatti, i primi tre metodi consentono di esplicitare le infinite soluzioni, mentre il metodo di Cramer ci informa semplicemente del fatto che il sistema è indeterminato.

Esercizio risolto!