Esercizio equazione esponenziale in base 2

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Esercizio equazione esponenziale in base 2 #96971

avt
Alexdruso
Punto
Ho iniziato da poco le equazioni esponenziali e già riscontro molte difficoltà nel determinare le soluzioni. Il mio professore ha suggerito di utilizzare le proprietà delle potenze per potermi ricondurre alla forma normale, ma non ci riesco.

Calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione esponenziale

2^{x}=16\sqrt{2}

Grazie.
 
 

Esercizio equazione esponenziale in base 2 #96972

avt
Ifrit
Ambasciatore
Per poter determinare le eventuali soluzioni dell'equazione esponenziale

2^{x}=16\sqrt{2}

bisogna ricondursi a un'uguaglianza tra esponenziali aventi la medesima base. Proprio perché al primo membro c'è un'esponenziale in base 2, tentiamo di esprimere il secondo membro sotto forma di potenza con base 2.

Sfruttando la definizione di potenza con esponente fratto

16\sqrt{2}=16\cdot 2^{\frac{1}{2}}=2^4\cdot 2^{\frac{1}{2}}=

e grazie alle proprietà sul prodotto di due potenze con la stessa base scriviamo

=2^{4+\frac{1}{2}}=2^{\frac{9}{2}}

Questi semplici passaggi algebrici consentono di esprimere l'equazione

2^{x}=16\sqrt{2}

nella forma equivalente

2^x=2^{\frac{9}{2}}

Se due potenze di ugual base sono uguali, devono essere necessariamente uguali anche i loro esponenti, pertanto:

x=\frac{9}{2}

Concludiamo pertanto che l'equazione esponenziale

2^{x}=16\sqrt{2}

è soddisfatta per x=\frac{9}{2}.

Abbiamo finito!
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Os