Esercizio equazione trinomia per sostituzione

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Esercizio equazione trinomia per sostituzione #96810

avt
cocoladaniele98
Punto
Dopo aver svolto molti esercizi sulle equazioni trinomie, me ne è capitato uno per il quale non ho trovato alcuna strategia vincente. Ho tentanto di sviluppare i calcoli, ma già dopo pochi passaggi diventano insostenibili.

Calcolare le soluzioni dell'equazione trinomia

(2x^2-5x+1)^2+(2x^2-5x+1)-2=0

avvalendosi di un'opportuna sostituzione.

Grazie mille.
 
 

Esercizio equazione trinomia per sostituzione #96824

avt
Omega
Amministratore
Il nostro obiettivo consiste nel calcolare le soluzioni dell'equazione trinomia

(2x^2-5x+1)^2+(2x^2-5x+1)-2=0

sfruttando a dovere un'opportuna sostituzione. Dal punto di vista teorico, potremmo pensare di sviluppare il quadrato di trinomio (2x^2-5x+1)^2 e sommare in seguito i monomi simili: precisiamo però che questa strategia non è per nulla comoda a causa della mole di calcoli.

Il testo inoltre suggerisce di procedere con una sostituzione che possiamo desumere dalla forma dell'equazione stessa. Se poniamo

t=2x^2-5x+1

il quadrato di t è

t^2=(2x^2-5x+1)^2

dunque siamo autorizzati a riscrivere l'equazione di partenza nella forma

t^2+t-2=0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di secondo grado nell'incognita t, i cui coefficienti sono:

a=1 \ \ \ , \ \ \ b=1 \ \ \ , \ \ \ c=-2

Calcoliamo il discriminante con la formula

\Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot 1\cdot (-2)=1+8=9

e dalla sua positività comprendiamo che l'equazione in t ammette due soluzioni reali e distinte, ottenibili con la relazione

t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1\pm 3}{2}=\begin{cases}\frac{-1-3}{2}=-2=t_1\\ \\ \frac{-1+3}{2}=1=t_2\end{cases}

Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono quindi

t=-2 \ \ \  , \ \ \ t=1

A questo punto dobbiamo ripristinare l'incognita x sfruttando la sostituzione fatta. Poiché

t=2x^2-5x+1

le due relazioni precedenti diventano due equazioni nell'incognita x:

\\ t=-2 \ \ \ \to \ \ \ 2x^2-5x+1=-2 \\ \\ t=1 \ \ \ \to \ \ \ 2x^2-5x+1=1

Risolviamo la prima

2x^2-5x+1=-2 \ \ \ \to \ \ \  2x^2-5x+3=0

Indichiamo con a_1, \ b_1 \ \mbox{e} \ c_1 rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto

a_1=2 \ \ \ , \ \ \ b_1=-5 \ \ \ , \ \ \ c_1=3

calcoliamo il discriminante \Delta_1 associato:

\Delta_1=b_1^2-4a_1c_1=(-5)^2-4\cdot 2 \cdot 3=25-24=1

e infine determiniamo le soluzioni

x_{1,2}=\frac{-b_1\pm\sqrt{\Delta_1}}{2a_1}=\frac{-(-5)\pm 1}{4}=\begin{cases}\frac{5-1}{4}=1=x_1\\ \\ \frac{5+1}{4}=\frac{3}{2}=x_2\end{cases}

Occupiamoci della seconda relazione.

La soluzione t=1 si tramuta nella seguente equazione di secondo grado in x:

2x^2-5x+1=1 \ \ \ \to \ \ \ 2x^2-5x=0

Più precisamente, siamo in presenza di un'equazione spuria di cui possiamo calcolare le soluzioni mediante una semplice scomposizione. Se raccogliamo il fattore comune x, l'equazione diventa

x(2x-5)=0

e grazie alla legge di annullamento del prodotto, ci riconduciamo a due equazioni di primo grado

\\ x=0\\ \\ 2x-5=0 \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{5}{2}

Esse rappresentano due ulteriori soluzioni dell'equazione data.

In definitiva, l'equazione ammette quattro radici

x_1=1 \ \ , \ \ x_2=\frac{3}{2} \ \ , \ \  x_3=0 \ \ , \ \ x_4=\frac{5}{2}

e il suo insieme soluzioni è:

S=\left\{0,\ 1,\ \frac{3}{2},\ \frac{5}{2}\right\}

Abbiamo finito!
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Os