Risoluzione di un sistema lineare 2x2 con metodo a scelta

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Risoluzione di un sistema lineare 2x2 con metodo a scelta #96773

avt
pulses93
Punto
Spero possiate darmi una mano per risolvere un sistema lineare in due equazioni e in due incognite usando tutti e quattro i metodi risolutivi. Io ci ho provato solo che ogni metodo mi dava soluzioni diverse!

Determinare le eventuali soluzioni del sistema lineare

\begin{cases}\dfrac{3}{4}(x+y)=2\left(x-\dfrac{5}{6}\right)+2y\\ \\ x+y-1=0\end{cases}

avvalendosi del metodo di sostituzione, del metodo del confronto, del metodo di riduzione e del metodo di Cramer.
 
 

Risoluzione di un sistema lineare 2x2 con metodo a scelta #96780

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo il sistema lineare di due equazioni in due incognite

\begin{cases}\dfrac{3}{4}(x+y)=2\left(x-\dfrac{5}{6}\right)+2y\\ \\ x+y-1=0\end{cases}

Il nostro obiettivo consiste nell'usare i quattro metodi risolutivi per ricavare le eventuali soluzioni, ma prima è opportuno notare che il sistema non è espresso in forma normale, ecco perché ci adopereremo a eseguire quei passaggi algebrici che consentono di scriverlo nella forma

\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\ \\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases}

Per prima cosa occupiamoci del secondo membro della prima equazione, eseguendo le operazioni interne alle parentesi tonde

\begin{cases}\dfrac{3}{4}(x+y)=2\cdot\dfrac{6x-5}{6}+2y\\ \\ x+y-1=0\end{cases}

dopodiché semplifichiamo 2 con 6

\begin{cases}\dfrac{3}{4}(x+y)=\dfrac{6x-5}{3}+2y\\ \\ x+y-1=0\end{cases}

A questo punto calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori e scriviamo

\begin{cases}\dfrac{9(x+y)}{12}=\dfrac{4(6x-5)+24y}{12}\\ \\ x+y-1=0\end{cases}

Cancelliamo il denominatore comune ed eseguiamo i prodotti

\begin{cases}9x+9y=24x-20+24y \\ \\ x+y-1=0\end{cases}

Trasportiamo le incognite al primo membro, le costanti al secondo

\begin{cases}9x+9y-24x-24y=-20 \\ \\ x+y=1\end{cases}

e sommiamo tra loro i monomi simili

\begin{cases}-15x-15y=-20 \\ \\ x+y=1\end{cases}

Per questioni puramente estetiche, cambiamo i segni ai membri della prima equazione così da ottenere la forma normale del sistema

\begin{cases}15x+15y=20\\ \\ x+y=1\end{cases}

Il metodo di sostituzione è la prima strategia risolutiva che utilizzeremo per ricavare le eventuali soluzioni. Dalla seconda equazione, esprimiamo una delle incognite, ad esempio x, in termini dell'altra: la scelta dell'incognita è arbitraria e non pregiudica in alcun modo il risultato.

\begin{cases}15x+15y=20 \\ \\ x=1-y\end{cases}

Al posto di x nella prima equazione, scriviamo l'espressione 1-y, così facendo ci ricondurremo a un'equazione di primo grado nell'incognita y

\begin{cases}15(1-y)+15y=20 \\ \\ x=1-y\end{cases}

Sviluppiamo i calcoli

\begin{cases}15-15y+15y=20\\ \\ x=1-y\end{cases}

e sommiamo tra loro i termini simili, ottenendo

\begin{cases}15=20\\ \\ x=1-y\end{cases}

La prima è un'equazione senza incognite impossibile che consente di concludere che il sistema non ammette soluzioni: basta una sola equazione impossibile per rendere l'intero sistema privo di soluzioni.


Risolto il sistema con il metodo di sostituzione, possiamo continuare con il metodo del confronto. In buona sostanza isoliamo la stessa incognita a sinistra dell'uguale e in ogni equazione. La scelta se isolare x oppure y è nostra e non modifica in alcun modo l'insieme delle soluzioni.

A titolo di esempio, isoliamo x

\begin{cases}x=\dfrac{20-15y}{15}\\ \\ x=1-y\end{cases}

Poiché il primo membro della prima equazione coincide con quello della seconda, devono essere uguali tra loro anche i secondi membri, di conseguenza siamo autorizzati a scrivere il sistema lineare

\begin{cases}x=\dfrac{20-15y}{15}\\ \\ \dfrac{20-15y}{15}=1-y\end{cases}

La seconda è in buona sostanza un'equazione di primo grado nella sola incognita y che possiamo risolvere moltiplicando i due membri per 15

\begin{cases}x=\dfrac{20-15y}{15}\\ \\ 20-15y=15-15y\end{cases}

Una volta sommati tra loro i monomi simili, l'equazione degenera in un'uguaglianza falsa

\begin{cases}x=\dfrac{20-15y}{15}\\ \\ 20=15\end{cases}

Poiché la seconda equazione è impossibile, lo è l'intero sistema il quale non ammette soluzioni.



Risolviamo il sistema

\begin{cases}15x+15y=20\\ \\ x+y=1\end{cases}

con il metodo di riduzione. Per metterlo in atto, scegliamo prima di tutto l'incognita che vogliamo eliminare: La scelta è del tutto arbitraria e non modificherà l'insieme delle soluzioni.

Scegliamo di eliminare ad esempio l'incognita x: per raggiungere il nostro scopo, moltiplichiamo la seconda equazione per 15 in modo tale che i coefficienti dell'incognita siano uguali

\begin{cases}15x+15y=20\\ \\ 15x+15y=15\end{cases}

dopodiché sottraiamo i membri della seconda equazione per quelli della prima

\begin{cases}15x+15y=20\\ \\ (15x+15y)-(15x+15y)=15-20\end{cases}

da cui

\begin{cases}15x+15y=20\\ \\ 0=-5\end{cases}

La seconda equazione è chiaramente impossibile e ciò fa sì che l'intero sistema risulti privo di soluzioni.



Utilizziamo infine il metodo di Cramer: si tratta di una procedura standard che consente di risolvere il sistema in maniera pressoché meccanica.

Per prima cosa consideriamo la matrice dei coefficienti associata alla forma normale del sistema lineare

A=\begin{bmatrix}15&15\\15&15\end{bmatrix}

dopodiché ne calcoleremo il determinante

\mbox{D}=\begin{vmatrix}15&15\\ 15&15\end{vmatrix}=15\cdot 15-15\cdot 15=0

Poiché il determinante è nullo, la teoria ci avverte che il sistema può essere indeterminato - ammette infinite soluzioni - oppure impossibile - non ammette soluzioni. Il metodo di Cramer applicato ai sistemi lineari di due equazioni in due incognite consente di stabilire se siamo in presenza di un sistema impossibile o indeterminato. Bisogna calcolare il determinante dell'incognita x e quello relativo all'incognita y: se entrambi sono nulli, il sistema è indeterminato; è invece impossibile se almeno uno è diverso da zero.

Calcoliamo quindi il determinante di x, ottenuto dalla matrice A sostituendo i coefficienti della x con i termini noti delle equazioni del sistema.

\mbox{D}_{x}=\begin{vmatrix}20&15\\ 15&15\end{vmatrix}=20\cdot 15-15\cdot 15=75

La non nullità del determinante dell'incognita x permette di concludere che il sistema è impossibile. Per dovere di cronaca, calcoliamo anche il determinante dell'incognita y

\mbox{D}_{y}=\begin{vmatrix}15&20\\ 15&15\end{vmatrix}=15\cdot 15-20\cdot 15=-75

Come c'era d'aspettarsi, i quattro metodi conducono sempre e comunque alla medesima conclusione: il sistema non ammette soluzioni.
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