Scomposizione di un polinomio con 6 termini

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Scomposizione di un polinomio con 6 termini #9670

avt
nando
Frattale
Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un esercizio sulle scomposizioni di polinomi per il quale è richiesta la regola sul quadrato di binomio. Conosco la teoria, però non capisco come procedere. Potreste aiutarmi per favore?

Fattorizzare il seguente polinomio:

ax^2+ay^2+2axy+bx^2+by^2+2bxy

Grazie mille.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit
 
 

Scomposizione di un polinomio con 6 termini #9672

avt
Ifrit
Amministratore
Consideriamo il polinomio

ax^2+ay^2+2axy+bx^2+by^2+2bxy=

Il nostro compito prevede di scomporre il polinomio come prodotto di fattori irriducibili. Esistono diverse tecniche di scomposizione, però in questa occasione saranno utili la tecnica del raccoglimento parziale e l'uso del prodotto notevole che consente di trasformare un trinomio in un quadrato di binomio.

Per prima cosa, raccogliamo parzialmente il fattore a dai primi tre termini e b dagli ultimi tre:

=a(x^2+y^2+2xy)+b(x^2+y^2+2xy)=

A questo punto operiamo un raccoglimento totale: mettiamo in evidenza x^2+y^2+2xy

=(x^2+y^2+2xy)(a+b)

Il binomio a+b è irriducibile perché ha grado complessivo pari a 1, mentre il trinomio può essere scomposto ulteriormente. Se lo analizziamo come si deve, ci accorgiamo immediatamente che esso è lo sviluppo del quadrato di binomio (x+y)^2, infatti:

- il termine x^2 è il quadrato di x, dunque x è la base di x^2;

- il termine y^2 è il quadrato di y, dunque y è la base di y^2;

- il termine rimanente, ossia 2xy non è altro che il doppio prodotto delle basi dei due quadrati.

2\cdot x\cdot y=2xy

In base alla regola sul quadrato di un binomio, scriviamo:

x^2+y^2+2xy=(x+y)^2

e concludiamo che la scomposizione richiesta è:

ax^2+ay^2+2axy+bx^2+by^2+2bxy=(x+y)^2(a+b)

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, nando
  • Pagina:
  • 1
Os